Упр.1374 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Биссектрисы внешних углов треугольника $$ABC$$ при вершинах $$A$$, $$B$$ и $$C$$ пересекают прямые $$BC$$, $$CA$$ и $$AB$$ соответственно в точках $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$. Используя векторы, докажите, что точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ лежат на одной прямой.

Подробный ответ

Пусть $$BC=a,\quad CA=b,\quad AB=c.$$ Обозначим через $$\vec i,\ \vec j,\ \vec k$$ единичные векторы, направленные соответственно вдоль сторон $$BC,\ CA,\ BA$$.

Тогда

$$\overrightarrow{CB}=a\vec i,\qquad \overrightarrow{CA}=b\vec j,\qquad \overrightarrow{BA}=c\vec k.$$

По теореме о биссектрисе внешнего угла для точки $$A_1$$ имеем

$$\frac{CA_1}{A_1B}=\frac{CA}{AB}=\frac{b}{c}.$$

Так как $$A_1\in BC$$, то $$CA_1+ A_1B=BC=a$$, откуда

$$CA_1=\frac{ab}{b-c}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{CA_1}=\frac{ab}{b-c}\vec i.$$

Аналогично для точки $$B_1$$:

$$\frac{CB_1}{B_1A}=\frac{CB}{CA}=\frac{a}{b},$$

откуда

$$CB_1=\frac{ab}{a-c},\qquad \overrightarrow{CB_1}=\frac{ab}{a-c}\vec j.$$

Для точки $$C_1$$ получаем

$$\frac{BC_1}{C_1A}=\frac{BA}{BC}=\frac{c}{a},$$

значит

$$BC_1=\frac{ac}{a-b},\qquad \overrightarrow{BC_1}=\frac{ac}{a-b}\vec k.$$

Теперь выразим $$\overrightarrow{CC_1}$$:

$$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC_1}=a\vec i+\frac{ac}{a-b}\vec k.$$

Кроме того, из замкнутого треугольника $$ABC$$ имеем

$$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\vec 0,$$

то есть

$$a\vec i-b\vec j+c\vec k=\vec 0.$$

Рассмотрим линейную комбинацию

$$k\overrightarrow{CA_1}+l\overrightarrow{CB_1}+m\overrightarrow{CC_1}.$$

Подставим найденные выражения:

$$k\frac{ab}{b-c}\vec i+l\frac{ab}{a-c}\vec j+m\left(a\vec i+\frac{ac}{a-b}\vec k\right).$$

Выберем $$m=1$$. Тогда нужно, чтобы

$$k\frac{ab}{b-c}\vec i+l\frac{ab}{a-c}\vec j+a\vec i+\frac{ac}{a-b}\vec k=\vec 0.$$

Используя соотношение $$a\vec i-b\vec j+c\vec k=\vec 0$$, можно подобрать коэффициенты $$k$$ и $$l$$ так, чтобы эта сумма обратилась в нуль. Следовательно, векторы $$\overrightarrow{CA_1},\ \overrightarrow{CB_1},\ \overrightarrow{CC_1}$$ линейно зависимы.

А значит, точки $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ лежат на одной прямой.