Упр.1372 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите следующее утверждение: три точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют числа $$k$$, $$l$$ и $$m$$, одновременно не равные нулю, такие, что $$k+l+m=0$$ и для произвольной точки $$O$$ выполняется равенство $$k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC}=0$$.

Подробный ответ

Пусть точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой, а $$O$$ — произвольная точка. Обозначим через $$\vec e$$ единичный вектор, параллельный прямой $$AC$$.

Разложим векторы $$\overrightarrow{OA}$$, $$\overrightarrow{OB}$$, $$\overrightarrow{OC}$$ на составляющие, параллельные прямой $$AC$$ и перпендикулярные ей:

$$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA’}+\overrightarrow{OE},\qquad \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB’}+\overrightarrow{OE},\qquad \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC’}+\overrightarrow{OE}.$$

Тогда

$$k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC} = k(\overrightarrow{OA’}+\overrightarrow{OE})+l(\overrightarrow{OB’}+\overrightarrow{OE})+m(\overrightarrow{OC’}+\overrightarrow{OE})$$

$$= k\overrightarrow{OA’}+l\overrightarrow{OB’}+m\overrightarrow{OC’}+(k+l+m)\overrightarrow{OE}.$$

Если $$k+l+m=0$$, то перпендикулярная составляющая равна нулю, и остаётся проверить, что можно подобрать ненулевые $$k,l,m$$ так, чтобы

$$k\overrightarrow{OA’}+l\overrightarrow{OB’}+m\overrightarrow{OC’}=\vec 0.$$

Так как точки $$A,B,C$$ лежат на одной прямой, их проекции на эту прямую удовлетворяют линейной зависимости. Возьмём, например, $$k=1$$. Тогда из условия $$k+l+m=0$$ получаем

$$l=-m-1.$$

Подставляя в равенство для составляющих на прямой, имеем

$$\overrightarrow{OA’}- (m+1)\overrightarrow{OB’}+m\overrightarrow{OC’}=\vec 0.$$

Выбирая

$$m=\frac{AB}{BC},\qquad l=-\frac{AB}{BC}-1,$$

получаем

$$\overrightarrow{OA’}-\left(\frac{AB}{BC}+1\right)\overrightarrow{OB’}+\frac{AB}{BC}\overrightarrow{OC’}=\vec 0,$$

что и даёт

$$k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC}=\vec 0.$$

Обратно, если существуют числа $$k,l,m\neq 0$$ такие, что $$k+l+m=0$$ и для любой точки $$O$$ выполняется

$$k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC}=\vec 0,$$

то при выборе точки $$O$$ вне прямой $$ABC$$ векторное равенство возможно только тогда, когда все три точки $$A,B,C$$ лежат на одной прямой. Иначе векторы $$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$$ не могут иметь такую линейную зависимость при условии $$k+l+m=0$$.

Следовательно, три точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют числа $$k,l,m\neq 0$$, для которых $$k+l+m=0$$ и

$$k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC}=\vec 0.$$