Упр.1371 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Дан треугольник ABC. Докажите, что вектор AB/|AB|=AC/|AC| направлен вдоль биссектрисы угла А, а вектор AB/|AB|-AC/|AC| — вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине А.

Обозначим

$$\vec{u}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}, \qquad \vec{v}=\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}.$$

Тогда $$|\vec{u}|=|\vec{v}|=1.$$ Построим точки $$D$$ и $$E$$ так, что

$$\overrightarrow{AD}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}, \qquad \overrightarrow{AE}=\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}.$$

Следовательно, $$AD=AE=1$$, то есть точки $$D$$ и $$E$$ лежат на окружности с центром в точке $$A$$.

Рассмотрим вектор

$$\overrightarrow{AF}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}.$$

По правилу параллелограмма вектор $$\overrightarrow{AF}$$ является диагональю параллелограмма $$AEFD$$. Так как $$AD=AE$$ и $$FD=AE$$, то этот параллелограмм — ромб. Диагональ ромба биссектрисa его угла, значит $$\overrightarrow{AF}$$ направлен вдоль биссектрисы угла $$A$$.

Теперь рассмотрим вектор

$$\overrightarrow{AF’}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}-\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE’} ,$$

где $$\overrightarrow{AE’}=-\overrightarrow{AE}.$$ Тогда $$AE’=AE=1$$, и точки $$D$$ и $$E’$$ также лежат на окружности с центром в $$A$$. Аналогично получаем, что $$AE’FD$$ — ромб, а его диагональ $$\overrightarrow{AF’}$$ является биссектрисой внешнего угла при вершине $$A$$.

Таким образом, $$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$$ направлен вдоль биссектрисы внутреннего угла при вершине $$A$$, а $$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}-\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$$ — вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине $$A$$.

Ответ

$$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$$ направлен вдоль биссектрисы внутреннего угла $$A$$, а $$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}-\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$$ — вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине $$A$$.