Упр.1371 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дан треугольник ABC. Докажите, что вектор $$\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}=\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}$$ направлен вдоль биссектрисы угла А, а вектор $$\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}-\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}$$ — вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине А.

Подробный ответ

Обозначим

$$\overrightarrow{AD}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|},\qquad \overrightarrow{AE}=\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|},\qquad \overrightarrow{AE’}=-\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}.$$

Тогда векторы $$\overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{AE},\ \overrightarrow{AE’}$$ — единичные, значит, точки $$D,\ E,\ E’$$ лежат на окружности с центром в точке $$A$$.

Рассмотрим вектор

$$\overrightarrow{AF}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}.$$

По правилу параллелограмма сумма двух равных по длине векторов, выходящих из одной точки, направлена по диагонали ромба $$AEDF$$. Следовательно, $$\overrightarrow{AF}$$ лежит на биссектрисе угла $$A$$.

Теперь рассмотрим вектор

$$\overrightarrow{AF’}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}-\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE’}.$$

Аналогично, так как $$|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{AE’}|=1$$, четырёхугольник $$AE’F’D$$ — ромб. Его диагональ $$AF’$$ является биссектрисой угла $$E’AD$$, то есть внешнего угла при вершине $$A$$.

Таким образом, $$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$$ направлен вдоль биссектрисы внутреннего угла при вершине $$A$$, а $$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}-\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$$ — вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине $$A$$.