Упр.1370 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны четырёхугольник $$ABCD$$ и точка $$O$$. Точки $$E$$, $$F$$, $$G$$ и $$H$$ симметричны точке $$O$$ относительно середин сторон $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ соответственно. Что представляет собой четырёхугольник $$EFGH$$?

Обозначим середины сторон $$AB,\,BC,\,CD,\,DA$$ через $$M,\,N,\,P,\,Q$$ соответственно. Тогда точки $$E,\,F,\,G,\,H$$ симметричны точке $$O$$ относительно $$M,\,N,\,P,\,Q$$, значит $$M$$, $$N$$, $$P$$, $$Q$$ — середины отрезков $$OE,\,OF,\,OG,\,OH$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$MNPQ$$. В треугольнике $$ABC$$ отрезок $$MN$$ — средняя линия, поэтому $$MN \parallel AC$$ и $$MN=\frac12 AC$$. Аналогично в треугольнике $$ADC$$ отрезок $$QP$$ — средняя линия, значит $$QP \parallel AC$$ и $$QP=\frac12 AC$$. Следовательно, $$MN \parallel QP$$ и $$MN=QP$$.

Аналогично получаем, что $$NP \parallel MQ$$ и $$NP=MQ$$. Значит, $$MNPQ$$ — параллелограмм.

Теперь в треугольнике $$OEF$$ точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$OE$$ и $$OF$$, поэтому $$MN$$ — средняя линия треугольника $$OEF$$. Отсюда

$$EF \parallel MN,\qquad EF=2MN.$$

Аналогично:

$$FG \parallel NP,\qquad FG=2NP,$$

$$GH \parallel QP,\qquad GH=2QP,$$

$$HE \parallel MQ,\qquad HE=2MQ.$$

Так как в четырёхугольнике $$MNPQ$$ противоположные стороны параллельны, то и у четырёхугольника $$EFGH$$ противоположные стороны попарно параллельны:

$$EF \parallel GH,\qquad FG \parallel HE.$$

Следовательно, $$EFGH$$ — параллелограмм.

Ответ: $$EFGH$$ — параллелограмм.