Упр.137 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN — равнобедренный. На рисунке 53 (см. с. 31) BC = AD, AB = CD. Докажите, что угол B = угол D.
1) Рассмотрим треугольники $$\triangle ANA_1$$ и $$\triangle AMA_1$$.
У них:
- $$AA_1$$ — общая сторона;
- $$\angle NAA_1 = \angle MAA_1$$, так как $$AA_1$$ — биссектриса угла $$A$$;
- $$\angle NA_1A = \angle MA_1A$$, так как прямая $$a \perp AA_1$$.
Следовательно, $$\triangle ANA_1 \cong \triangle AMA_1$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, $$AN = AM$$.
Итак, треугольник $$AMN$$ равнобедренный.
2) Рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle CDA$$.
У них:
- $$BC = AD$$ по условию;
- $$AB = CD$$ по условию;
- $$AC$$ — общая сторона.
Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle CDA$$ по трём сторонам. Тогда соответствующие углы равны, значит, $$\angle B = \angle D$$.
Ответ
$$AM = AN$$, поэтому $$\triangle AMN$$ равнобедренный; $$\angle B = \angle D$$.
