Упр.1368 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите утверждения об основных свойствах умножения вектора на число (п. 86).

Докажем основные свойства умножения вектора на число.

1. Для любых чисел $$k$$ и $$l$$ и любого вектора $$\vec a$$ имеем

   $$(kl)\vec a = k(l\vec a).$$

   Действительно, если $$\vec a=\vec 0$$, то равенство очевидно. Если $$\vec a\neq \vec 0$$, то

   $$|(kl)\vec a|=|kl|\,|\vec a|=|k|\,|l|\,|\vec a|=|k|\,|l\vec a|=|k(l\vec a)|.$$

   Кроме того, при $$kl>0$$ векторы $$(kl)\vec a$$ и $$k(l\vec a)$$ сонаправлены с $$\vec a$$, а при $$kl<0$$ — противоположно направлены. Значит, эти векторы равны.

2. Если $$\vec a=\vec 0$$, то утверждение также очевидно.

3. Пусть $$\vec a\neq \vec 0$$. Тогда

   $$|(kl)\vec a|=|k|\,|l|\,|\vec a|=|k(l\vec a)|.$$

   Если $$kl\ge 0$$, то векторы $$(kl)\vec a$$ и $$k(l\vec a)$$ сонаправлены с $$\vec a$$; если $$kl<0$$, то они противоположно направлены. Следовательно,

   $$(kl)\vec a = k(l\vec a).$$

4. Докажем, что для любых чисел $$k$$ и любого вектора $$\vec a,\vec b$$ справедливо

   $$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b.$$

   Если $$k=0$$, то равенство очевидно. Пусть $$k\neq 0$$.

   Рассмотрим сначала случай, когда $$\vec a$$ и $$\vec b$$ неколлинеарны. Отложим от точки $$O$$ векторы $$\overrightarrow{OA_1}=\vec a$$ и $$\overrightarrow{OA}=k\vec a$$, а от точки $$A_1$$ — вектор $$\overrightarrow{A_1B_1}=\vec b$$ и от точки $$A$$ — вектор $$\overrightarrow{AB}=k\vec b$$.

   Треугольники $$OA_1B_1$$ и $$OAB$$ подобны с коэффициентом подобия $$|k|$$. Поэтому

   $$\overrightarrow{OB}=k\overrightarrow{OB_1}=k(\vec a+\vec b).$$

   С другой стороны,

   $$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=k\vec a+k\vec b.$$

   Следовательно,

   $$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b.$$

   Если же $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны, то равенство доказывается аналогично или сводится к случаю неколлинеарных векторов.

5. Теперь докажем, что

   $$(k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a.$$

   Если хотя бы одно из чисел $$k$$ или $$l$$ отлично от нуля, то можно рассмотреть вектор

   $$\vec a+\frac{l}{k}\vec a,$$

   который сонаправлен с $$\vec a$$. Тогда

   $$\left|\vec a+\frac{l}{k}\vec a\right|=\left|\vec a\right|+\left|\frac{l}{k}\vec a\right|=\left(1+\frac{l}{k}\right)|\vec a|.$$

   Отсюда

   $$\vec a+\frac{l}{k}\vec a=\left(1+\frac{l}{k}\right)\vec a,$$

   а значит, после умножения на $$k$$ получаем

   $$k\vec a+l\vec a=(k+l)\vec a.$$

Таким образом, все основные свойства умножения вектора на число доказаны.