Упр.1367 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что центр описанной окружности, центроид и ортоцентр треугольника лежат на одной прямой (прямая Эйлера).

Рассмотрим гомотетию с центром в точке пересечения медиан треугольника и коэффициентом $$k=-2.$$

При такой гомотетии серединные перпендикуляры к сторонам треугольника переходят в прямые, содержащие высоты треугольника. Поэтому точка пересечения серединных перпендикуляров, то есть центр описанной окружности, переходит в точку пересечения высот, то есть в ортоцентр.

Так как центр гомотетии — это точка пересечения медиан, то центроид, центр описанной окружности и ортоцентр лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Эйлера.