Упр.1366 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что при гомотетии с центром в точке пересечения медиан треугольника и коэффициентом $$k=-2$$ серединные перпендикуляры к сторонам треугольника переходят в прямые, содержащие высоты этого треугольника.
Пусть $$BD$$ — медиана треугольника $$ABC$$, $$O$$ — точка пересечения его медиан, а $$a$$ — серединный перпендикуляр к стороне $$AC$$. Тогда $$D \in a$$ и $$a \perp AC$$.
Так как точка $$O$$ делит медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины, то
$$BO=2\cdot OD.$$
Следовательно, при гомотетии с центром $$O$$ и коэффициентом $$k=-2$$ точка $$D$$ переходит в точку $$B$$.
Поскольку прямая $$a$$ проходит через точку $$D$$, её образ при данной гомотетии — прямая $$a_1$$, проходящая через точку $$B$$ и параллельная прямой $$a$$. Значит,
$$a_1 \perp AC.$$
Но прямая, проходящая через вершину $$B$$ и перпендикулярная стороне $$AC$$, содержит высоту треугольника $$ABC$$, проведённую из вершины $$B$$.
Итак, серединный перпендикуляр к стороне треугольника при гомотетии с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом $$k=-2$$ переходит в прямую, содержащую высоту этого треугольника.
