Упр.1365 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дана окружность $$O$$ радиуса $$r$$ и точка $$A$$ плоскости. Докажите, что множество середин отрезков $$AM$$, где $$M$$ — любая точка окружности $$O$$ радиуса $$r$$, есть окружность. Укажите положение центра этой окружности и найдите её радиус.

Подробный ответ

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $$A$$ и коэффициентом $$k=\frac12$$. При этой гомотетии любая точка $$M$$ окружности перейдёт в точку $$M_1$$, которая является серединой отрезка $$AM$$.

Так как при гомотетии окружность переходит в окружность, то множество всех точек $$M_1$$ также образует окружность. Её центр $$O_1$$ — образ точки $$O$$ при той же гомотетии, значит, $$O_1$$ лежит на прямой $$OA$$ и является серединой отрезка $$OA$$.

Радиус новой окружности в $$2$$ раза меньше радиуса исходной, поэтому

$$R=\frac{r}{2}.$$

Следовательно, множество середин отрезков $$AM$$, где $$M$$ — любая точка окружности $$O$$, есть окружность с центром в середине отрезка $$OA$$ и радиусом $$\frac{r}{2}$$.

Ответ: $$O_1\in OA$$, $$OO_1=AO_1$$, $$R=\frac{r}{2}$$.