Упр.1364 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1364. На рисунке 419 точки Р и С, а также В и Q симметричны относительно биссектрисы АХ угла ВАС. Известно, что АВ=5, АС=3. Используя гомотетию с центром в точке D пересечения отрезков PQ и ВС, докажите, что CD=3/8.

Подробный ответ

По свойству симметрии относительно биссектрисы $$AX$$ имеем:

$$AP=AC=3,\qquad AQ=AB=5.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle APC$$ и $$\triangle ABQ$$. У них

$$\angle PAC=\angle QAB,$$

так как луч $$AX$$ — биссектриса угла $$BAC$$, а точки $$P$$ и $$Q$$ симметричны относительно $$AX$$. Кроме того,

$$\frac{AP}{AB}=\frac{AC}{AQ}=\frac{3}{5}.$$

Следовательно, $$\triangle APC \sim \triangle ABQ$$ по двум сторонам и углу между ними, поэтому

$$\frac{PC}{BQ}=\frac{AP}{AB}=\frac{3}{5}.$$

Теперь рассмотрим гомотетию с центром в точке $$D$$. При этой гомотетии точка $$P$$ переходит в $$Q$$, а точка $$C$$ — в $$B$$. Значит, коэффициент гомотетии отрицателен и равен

$$k=-\frac{5}{3}.$$

Тогда

$$BD=\frac{5}{3}\,CD,$$

а так как точки $$C, D, B$$ лежат на одной прямой, то

$$BC=CD+BD.$$

Подставим выражение для $$BD$$:

$$BC=CD+\frac{5}{3}CD=\frac{8}{3}CD.$$

Отсюда

$$CD=\frac{3}{8}BC.$$

Что и требовалось доказать.