Упр.1364 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На рисунке 419 точки $$P$$ и $$C$$, а также $$B$$ и $$Q$$ симметричны относительно биссектрисы $$AX$$ угла $$BAC$$. Известно, что $$AB=5$$, $$AC=3$$. Используя гомотетию с центром в точке $$D$$ пересечения отрезков $$PQ$$ и $$BC$$, докажите, что $$CD=\frac{3}{8}$$.

По свойству симметрии относительно биссектрисы $$AX$$ имеем:

$$AP=AC=3,\qquad AQ=AB=5.$$

Рассмотрим треугольники $$APC$$ и $$ABQ$$. У них

$$\angle PAC=\angle QAB,$$

так как луч $$AX$$ — биссектриса угла $$BAC$$, а точки $$P$$ и $$Q$$ симметричны относительно $$AX$$. Кроме того,

$$\frac{AP}{AB}=\frac{AC}{AQ}=\frac{3}{5}.$$

Следовательно, $$\triangle APC \sim \triangle ABQ$$, и потому

$$\frac{PC}{BQ}=\frac{AP}{AB}=\frac{3}{5}.$$

Теперь рассмотрим гомотетию с центром в точке $$D$$ — точке пересечения отрезков $$PQ$$ и $$BC$$. При этой гомотетии точка $$P$$ переходит в $$Q$$, а точка $$C$$ — в $$B$$. Значит, коэффициент гомотетии

$$k=-\frac{5}{3}.$$

Тогда

$$BD=\frac{5}{3}\,CD.$$

Так как точки $$C, D, B$$ лежат на одной прямой и $$D$$ находится между $$C$$ и $$B$$, то

$$BC=CD+BD=CD+\frac{5}{3}CD=\frac{8}{3}CD.$$

Отсюда

$$CD=\frac{3}{8}BC.$$

Ответ: $$CD=\frac{3}{8}BC.$$