Упр.1362 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На рисунке 418 $$ABCD$$ — параллелограмм, $$P$$ и $$Q$$ — середины сторон $$AD$$ и $$BC$$. Докажите, что:
   а) при гомотетии с центром в точке $$D$$ и $$k=2$$ точка $$K$$ переходит в точку $$L$$;
   б) при гомотетии с центром в точке $$B$$ и $$k=2$$ точка $$L$$ переходит в точку $$K$$.

1) Рассмотрим четырёхугольник $$AQC P.$$

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AD \parallel BC$$ и $$AD=BC.$$

Точки $$P$$ и $$Q$$ — середины сторон $$AD$$ и $$BC,$$ значит

$$AP=PD,\qquad BQ=QC.$$

Кроме того, $$AP \parallel QC,$$ так как $$AP \subset AD,$$ а $$QC \subset BC,$$ и $$AD \parallel BC.$$ Следовательно, $$AQC P$$ — параллелограмм.

Тогда $$AQ \parallel CP,$$ а отрезки $$AQ$$ и $$CP$$ пересекаются в точке $$K$$, причём $$K$$ лежит на диагонали $$DL$$ и делит её в отношении

$$DL=2\cdot KD.$$

Значит, точка $$K$$ при гомотетии с центром в точке $$D$$ и коэффициентом $$k=2$$ переходит в точку $$L.$$

2) Аналогично рассмотрим четырёхугольник $$BQCP.$$

Так как $$BQ \parallel CP$$ и $$BQ=QC,$$ то $$BQCP$$ — параллелограмм. Отсюда $$BQ \parallel CP,$$ а точка $$L$$ лежит на прямой $$BK$$ и

$$BK=2\cdot BL.$$

Следовательно, при гомотетии с центром в точке $$B$$ и коэффициентом $$k=2$$ точка $$L$$ переходит в точку $$K.$$

Ответ: а) $$K \to L$$; б) $$L \to K.$$