Упр.1360 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В угол вписаны две окружности, одна из которых касается сторон угла в точках $$M$$ и $$N$$, а другая — в точках $$P$$ и $$Q$$. Докажите, что эти окружности на прямой $$MQ$$ отсекают равные хорды.

1) Так как из одной точки к окружности можно провести равные касательные, то

$$OM=ON,\qquad OP=OQ.$$

Кроме того, точки $$M$$ и $$P$$ лежат на одной стороне угла, а точки $$N$$ и $$Q$$ — на другой, поэтому

$$MP=MQ-NQ,\qquad QF=QM-ME.$$

2) Для каждой окружности применим теорему о касательной и секущей:

$$MP^2=ME\cdot MQ,$$

$$QN^2=QF\cdot QM.$$

Так как $$MP=QN$$, получаем

$$ME\cdot MQ=QF\cdot QM.$$

Следовательно,

$$ME=FQ.$$

Что и требовалось доказать.