Упр.1359 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Дана окружность $$O$$ радиуса $$r$$, точка $$P$$ окружности и хорда $$AB$$. Постройте хорду $$PX$$ так, чтобы её середина принадлежала хорде $$AB$$.

Пусть $$E$$ — середина отрезка $$OP$$. Тогда $$OE=EP$$.

Проведём окружность с центром в точке $$E$$ радиуса $$OE$$. Эта окружность проходит через точки $$O$$ и $$P$$, значит, отрезок $$OP$$ является её диаметром.

Обозначим через $$F$$ точку пересечения этой окружности с хордой $$AB$$. Тогда $$F$$ лежит на хорде $$AB$$.

Проведём прямую $$PF$$ и отметим точку $$X$$ её пересечения с данной окружностью. Тогда точки $$P$$ и $$X$$ лежат на одной окружности с диаметром $$OP$$, а значит, $$\angle OXP=90^\circ$$. Следовательно, прямая $$PX$$ построена так, что середина отрезка $$PX$$ лежит на хорде $$AB$$.

Итак, искомая хорда $$PX$$ построена.