Упр.1358 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, точки E и F являются серединами оснований, тогда при гомотетии с центром в точке O и некоторым k, отрезок AD переходит в отрезок BC, а середина E переходит в середину F, то есть точка O лежит на прямой EF, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Рассмотрим трапецию $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$. Пусть прямые, содержащие боковые стороны $$AB$$ и $$CD$$, пересекаются в точке $$O$$.

Так как $$AD \parallel BC$$, то при гомотетии с центром в точке $$O$$ одна из параллельных прямых переходит в другую. Следовательно, отрезок $$AD$$ переходит в отрезок $$BC$$.

Обозначим через $$E$$ и $$F$$ середины оснований $$AD$$ и $$BC$$ соответственно. При гомотетии середина отрезка переходит в середину его образа, значит, точка $$E$$ переходит в точку $$F$$.

Но при гомотетии все точки и их образы лежат на одной прямой, проходящей через центр гомотетии. Поэтому точки $$O$$, $$E$$ и $$F$$ коллинеарны.

Значит, точка $$O$$ лежит на прямой $$EF$$, то есть на прямой, проходящей через середины оснований трапеции.