Упр.1358 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Пусть точка $$O$$ — точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны данной трапеции. Используя гомотетию с центром в точке $$O$$, докажите, что точка $$O$$ лежит на прямой, проходящей через середины оснований трапеции.

Рассмотрим трапецию $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$. Пусть прямые, содержащие боковые стороны $$AB$$ и $$CD$$, пересекаются в точке $$O$$. Обозначим через $$E$$ и $$F$$ середины оснований $$AD$$ и $$BC$$ соответственно.

Так как $$BC \parallel AD$$, то при гомотетии с центром в точке $$O$$ отрезок $$AD$$ переходит в отрезок $$BC$$. Следовательно, точка $$E$$, как середина отрезка $$AD$$, перейдёт в середину отрезка $$BC$$, то есть в точку $$F$$.

При гомотетии центр, точка $$E$$ и её образ $$F$$ лежат на одной прямой. Значит, точки $$O$$, $$E$$ и $$F$$ коллинеарны.

Итак, точка $$O$$ лежит на прямой $$EF$$, что и требовалось доказать.