Упр.1357 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Используя гомотетию с центром в точке пересечения медиан треугольника АВС, докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника АВС, в 2 раза больше радиуса окружности, описанной около треугольника с вершинами в серединах сторон АВ, ВС и СА.

Подробный ответ

Пусть медианы $$AE$$, $$BD$$ и $$CF$$ пересекаются в точке $$O$$. Тогда точка $$O$$ делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины, то есть

$$OA=2OE,\quad OB=2OD,\quad OC=2OF.$$

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $$O$$ и коэффициентом $$k=-\frac12$$. При этой гомотетии вершины треугольника $$ABC$$ переходят в середины его сторон:

$$A\to E,\quad B\to D,\quad C\to F.$$

Значит, треугольник $$ABC$$ переходит в треугольник $$EDF$$, а окружность, описанная около $$\triangle ABC$$, переходит в окружность, описанную около $$\triangle DEF$$. Радиусы соответствующих окружностей относятся как модуль коэффициента гомотетии:

$$r=\frac12 R,$$

где $$R$$ — радиус окружности, описанной около $$\triangle ABC$$, а $$r$$ — радиус окружности, описанной около $$\triangle DEF$$.

Следовательно,

$$R=2r.$$