Упр.1355 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Пусть центр гомотетии $$O$$ лежит на данной окружности. Докажите, что данная окружность и та, в которую она переходит при гомотетии с центром в точке $$O$$, имеют в точке $$O$$ общую касательную.

Пусть окружность с центром в точке $$A$$ при гомотетии с центром в точке $$O$$ переходит в окружность с центром в точке $$B$$.

Тогда точка $$B$$ лежит на прямой $$OA$$. Обе окружности проходят через точку $$O$$, причём $$OA=R,\qquad OB=r.$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$k>0,$$ то точки $$A$$, $$O$$, $$B$$ лежат на одной прямой по одну сторону от точки $$O$$, и тогда
   $$AB=OA-OB=R-r.$$
2. Если $$k<0,$$ то точки $$A$$, $$O$$, $$B$$ лежат на одной прямой по разные стороны от точки $$O$$, и тогда
   $$AB=OA+OB=R+r.$$

В обоих случаях расстояние между центрами окружностей равно либо разности радиусов, либо их сумме. Значит, окружности касаются в точке $$O$$ и имеют в этой точке общую касательную.