Упр.1354 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Пользуясь предыдущей задачей, докажите, что если при некоторой гомотетии отрезок $$AB$$ переходит в отрезок $$A_1B_1$$, то середина отрезка $$AB$$ переходит в середину отрезка $$A_1B_1$$.

Пусть при гомотетии точка $$A$$ переходит в $$A_1$$, точка $$B$$ — в $$B_1$$, а точка $$M$$ — в $$M_1$$. Так как $$M$$ — середина отрезка $$AB$$, то

$$AM=BM.$$

При гомотетии все расстояния изменяются в $$k$$ раз, поэтому

$$A_1M_1=\frac{AM}{k}, \qquad B_1M_1=\frac{BM}{k}.$$

Из равенства $$AM=BM$$ получаем

$$A_1M_1=B_1M_1.$$

Значит, точка $$M_1$$ равноудалена от точек $$A_1$$ и $$B_1$$. Кроме того, при гомотетии точка, лежащая между $$A$$ и $$B$$, переходит в точку, лежащую между $$A_1$$ и $$B_1$$. Следовательно, $$M_1$$ — середина отрезка $$A_1B_1$$.