Упр.1353 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Пусть при некоторой гомотетии точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ переходят соответственно в точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$. Докажите, что если точка $$B$$ лежит между точками $$A$$ и $$C$$, то точка $$B_1$$ лежит между точками $$A_1$$ и $$C_1$$.

Подробный ответ

Пусть при некоторой гомотетии точки $$A,$$ $$B$$ и $$C$$ переходят соответственно в точки $$A_1,$$ $$B_1$$ и $$C_1.$$

Так как точка $$B$$ лежит между точками $$A$$ и $$C,$$ то точки $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ лежат на одной прямой и выполняется равенство

$$AC=AB+BC.$$

При гомотетии отрезки переходят в отрезки, а их длины умножаются на один и тот же коэффициент $$k,$$ поэтому

$$AC=kA_1C_1,\qquad AB=kA_1B_1,\qquad BC=kB_1C_1.$$

Тогда

$$kA_1C_1=kA_1B_1+kB_1C_1,$$

откуда

$$A_1C_1=A_1B_1+B_1C_1.$$

Следовательно, точки $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$C_1$$ лежат на одной прямой, и точка $$B_1$$ находится между точками $$A_1$$ и $$C_1.$$

Ответ: точка $$B_1$$ лежит между $$A_1$$ и $$C_1$$.