Упр.1353 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точка B принадлежит прямой AC, тогда точка B_1 принадлежит прямой A_1 C_1,для точек A,B и C верно равенство AC=AB+BC, при гомотетии AC=kA_1 C_1, AB=kA_1 B_1 и BC=kB_1 C_1,то есть выполняется kA_1 C_1=kA_1 B_1+kB_1 C_1 или A_1 C_1=A_1 B_1+B_1 C_1, точка B_1 лежит между A_1 и C_1,что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Так как точка $$B$$ лежит между точками $$A$$ и $$C$$, то точки $$A, B, C$$ лежат на одной прямой, а также выполняется равенство

$$AC=AB+BC.$$

При гомотетии точки $$A, B, C$$ переходят соответственно в точки $$A_1, B_1, C_1$$. Тогда образы этих точек также лежат на одной прямой, значит, точка $$B_1$$ принадлежит прямой $$A_1C_1$$.

Кроме того, при гомотетии все расстояния изменяются в одно и то же число раз, поэтому

$$AC=kA_1C_1,\quad AB=kA_1B_1,\quad BC=kB_1C_1.$$

Подставим это в равенство $$AC=AB+BC$$:

$$kA_1C_1=kA_1B_1+kB_1C_1.$$

Так как коэффициент гомотетии один и тот же, получаем

$$A_1C_1=A_1B_1+B_1C_1.$$

Это означает, что точка $$B_1$$ лежит между точками $$A_1$$ и $$C_1$$.