Упр.135 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В треугольниках ABC и А,Б,С, отрезки СО и С1О1 — медианы, ВС = В1С1, угол B — угол B1 и угол C = угол C1. Докажите, что: а) треугольник АСО = треугольник А1С1О1; б) треугольник ВСО = треугольник В1С1О1. Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны.

Обозначим через $$O$$ и $$O_1$$ середины сторон $$AB$$ и $$A_1B_1$$ соответственно, так как $$CO$$ и $$C_1O_1$$ — медианы.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$. По условию

$$BC=B_1C_1,\quad \angle B=\angle B_1,\quad \angle C=\angle C_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда

$$AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$A_1O_1C_1$$. Имеем:

$$AC=A_1C_1,$$

$$\angle A=\angle A_1,$$

$$AO=\frac{1}{2}AB,\quad A_1O_1=\frac{1}{2}A_1B_1.$$

Так как $$AB=A_1B_1$$, то $$AO=A_1O_1$$. Значит, $$\triangle AOC \cong \triangle A_1O_1C_1$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$CO=C_1O_1.$$

Аналогично для треугольников $$BOC$$ и $$B_1O_1C_1$$:

$$BC=B_1C_1,$$

$$\angle B=\angle B_1,$$

$$OB=\frac{1}{2}AB,\quad O_1B_1=\frac{1}{2}A_1B_1,$$

а значит, $$OB=O_1B_1$$. Следовательно, $$\triangle BOC \cong \triangle B_1O_1C_1$$ по двум сторонам и углу между ними.

Таким образом, оба требуемых равенства треугольников доказаны.

Ответ

$$\triangle ACO \cong \triangle A_1C_1O_1,\quad \triangle BCO \cong \triangle B_1C_1O_1.$$