Упр.135 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ отрезки $$CO$$ и $$C_1O_1$$ — медианы, $$BC=B_1C_1$$, $$\angle B=\angle B_1$$ и $$\angle C=\angle C_1$$. Докажите, что:
   а) $$\triangle ACO=\triangle A_1C_1O_1$$;
   б) $$\triangle BCO=\triangle B_1C_1O_1$$.
2. Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны.

Обозначим середины сторон $$AB$$ и $$A_1B_1$$ точками $$O$$ и $$O_1$$ соответственно. Тогда, так как $$CO$$ и $$C_1O_1$$ — медианы, имеем

$$AO=OB,\qquad A_1O_1=O_1B_1.$$

Из условия $$\angle B=\angle B_1$$ и $$\angle C=\angle C_1$$, а также $$BC=B_1C_1$$. Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит,

$$AB=A_1B_1,\qquad AC=A_1C_1,\qquad \angle A=\angle A_1.$$

а)

Рассмотрим треугольники $$ACO$$ и $$A_1C_1O_1$$. У них

$$AC=A_1C_1,$$

$$\angle A=\angle A_1,$$

$$AO=\frac12 AB,\qquad A_1O_1=\frac12 A_1B_1.$$

Так как $$AB=A_1B_1$$, то $$AO=A_1O_1$$. Значит, треугольники $$ACO$$ и $$A_1C_1O_1$$ равны по двум сторонам и углу между ними:

$$\triangle ACO=\triangle A_1C_1O_1.$$

б)

Рассмотрим треугольники $$BCO$$ и $$B_1C_1O_1$$. Имеем

$$BC=B_1C_1,$$

$$\angle B=\angle B_1,$$

$$BO=\frac12 AB,\qquad B_1O_1=\frac12 A_1B_1.$$

Так как $$AB=A_1B_1$$, то $$BO=B_1O_1$$. Следовательно,

$$\triangle BCO=\triangle B_1C_1O_1$$

по двум сторонам и углу между ними.