Упр.1348 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

1) Построим прямоугольный ?DEF с катетами DE=EF;
2) На прямой AB отложим отрезок AG, равный отрезку DE;
3) На прямой AB отложим отрезок AH, равный отрезку DF;
4) Из точки H проведем прямую, параллельную прямой CG;
5) Отметим точку C_1 на пересечении этой прямой и луча AC;
6) Из точки C_1 проведем прямую, параллельную прямой BC;
7) Отметим точку B_1 на пересечении этой прямой и AB;
8) Точка A_1 в данном случае совпадает с точкой A.

Подробный ответ

Пусть требуется построить треугольник, подобный $$\triangle ABC$$, с площадью в $$2$$ раза большей.

Для этого достаточно построить новый треугольник с коэффициентом подобия $$k=\sqrt{2}$$, так как площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия:

$$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}=k^2.$$

Значит, нужно получить $$k^2=2$$, то есть $$k=\sqrt{2}.$$

Построим вспомогательный прямоугольный треугольник $$\triangle DEF$$ с катетами $$DE=EF$$. Тогда по теореме Пифагора

$$DF=\sqrt{DE^2+EF^2}=\sqrt{2\,DE^2}=DE\sqrt{2}.$$

Следовательно, отношение $$\dfrac{DF}{DE}=\sqrt{2}.$$

Теперь на прямой $$AB$$ отложим:

$$AG=DE$$;
$$AH=DF.$$

Через точку $$H$$ проведём прямую, параллельную $$CG$$, и обозначим точку её пересечения с лучом $$AC$$ через $$C_1$$.

Затем через точку $$C_1$$ проведём прямую, параллельную $$BC$$, и обозначим точку её пересечения с прямой $$AB$$ через $$B_1$$.

Точка $$A_1$$ совпадает с точкой $$A$$.

Так как $$HC_1 \parallel CG$$ и $$C_1B_1 \parallel CB$$, то треугольник $$A B_1 C_1$$ подобен треугольнику $$ABC$$. При этом коэффициент подобия равен

$$k=\frac{AH}{AG}=\frac{DF}{DE}=\sqrt{2}.$$

Значит, площадь построенного треугольника в $$k^2=2$$ раза больше площади исходного треугольника.