Упр.1348 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Дан треугольник $$ABC$$. Постройте треугольник $$A_1B_1C_1$$, подобный треугольнику $$ABC$$, площадь которого в 2 раза больше площади треугольника $$ABC$$.

Пусть $$A_1=A.$$ Построим вспомогательный прямоугольный треугольник $$DEF$$ так, чтобы $$DE=EF.$$ Тогда его гипотенуза $$DF$$ в $$\sqrt2$$ раза больше катета $$DE$$, то есть

$$\frac{DF}{DE}=\sqrt2.$$

Построим на стороне $$AB$$ точки $$G$$ и $$H$$ так, чтобы

$$AG=DE,\qquad AH=DF.$$

Через точку $$H$$ проведём прямую, параллельную прямой $$CG,$$ и обозначим через $$C_1$$ её пересечение с лучом $$AC.$$ Затем через точку $$C_1$$ проведём прямую, параллельную прямой $$BC,$$ и обозначим через $$B_1$$ её пересечение с прямой $$AB.$$

Тогда треугольник $$A_1B_1C_1$$ подобен треугольнику $$ABC$$, поскольку

$$\angle A_1=\angle A,\qquad \angle A_1C_1B_1=\angle ACB,\qquad \angle A_1B_1C_1=\angle ABC.$$

Коэффициент подобия равен

$$k=\frac{AH}{AG}=\frac{DF}{DE}=\sqrt2.$$

Следовательно, отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}=k^2=(\sqrt2)^2=2.$$

Значит, построенный треугольник $$A_1B_1C_1$$ подобен треугольнику $$ABC$$ и имеет площадь, в 2 раза большую площади треугольника $$ABC.$$