Упр.1346 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольник АВС вписан параллелограмм APNM так, как показано на рисунке 415. Известно, что $$АС=32\ \text{см}$$, $$AB=24\ \text{см}$$, а стороны параллелограмма относятся друг к другу как $$4:3$$. Определите длины сторон параллелограмма.

Обозначим стороны параллелограмма $$AMNP$$ через $$AM$$ и $$MN$$. По условию они относятся как $$4:3$$, значит возможны два случая:

1. $$AM:MN=4:3$$;
2. $$MN:AM=4:3$$.

Так как $$MN \parallel AC$$ и $$NP \parallel AB$$, то треугольники $$BMN$$ и $$BAC$$ подобны. Поэтому

$$\frac{BM}{AB}=\frac{MN}{AC}.$$

Подставим данные $$AB=24$$ см, $$AC=32$$ см:

$$\frac{BM}{24}=\frac{MN}{32}, \qquad BM=\frac{3}{4}MN.$$

Кроме того, $$AB=AM+BM$$, значит

$$AM+\frac{3}{4}MN=24.$$

1) Если $$AM:MN=4:3$$, то $$MN=\frac{3}{4}AM$$. Тогда

$$AM+\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}AM=24,$$

$$AM+\frac{9}{16}AM=24,$$

$$\frac{25}{16}AM=24,$$

$$AM=15{,}36\text{ см}, \qquad MN=11{,}52\text{ см}.$$

2) Если $$MN:AM=4:3$$, то $$AM=\frac{3}{4}MN$$. Тогда

$$\frac{3}{4}MN+\frac{3}{4}MN=24,$$

$$\frac{3}{2}MN=24,$$

$$MN=16\text{ см}, \qquad AM=12\text{ см}.$$

Ответ: $$12\text{ см и }16\text{ см}$$; $$15{,}36\text{ см и }11{,}52\text{ см}$$.