Упр.1343 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: При данном движении каждая из вершин треугольника ABC отображается на себя. Докажите, что любая точка плоскости отображается на себя.

Предположим, что при данном движении какая-нибудь точка плоскости $$ABC$$ переходит в другую точку. Обозначим эту точку через $$D$$, а её образ — через $$D_1$$, причём $$D_1 \ne D$$.

Так как движение сохраняет расстояния, то треугольник $$ABD$$ перейдёт в равный ему треугольник $$ABD_1$$. Аналогично, треугольник $$ACD$$ перейдёт в равный ему треугольник $$ACD_1$$.

Но по условию точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ переходят сами в себя. Значит, при движении отрезки $$AB$$, $$AC$$ и $$BC$$ остаются на своих местах, а потому образ точки $$D$$ должен быть единственным. Получаем противоречие с предположением, что $$D_1 \ne D$$.

Следовательно, никакая точка плоскости не может перейти в другую точку, то есть любая точка плоскости отображается на себя.

Ответ

Любая точка плоскости отображается на себя.