Упр.1341 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Пользуясь предыдущей задачей, докажите теорему о точке пересечения медиан треугольника: три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины.

В треугольнике $$ABC$$ отметим середины сторон $$A_1,$$ $$B_1$$ и $$C_1.$$ На медиане $$AA_1$$ отметим точку $$M$$ так, что $$AM:MA_1=2:1.$$

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $$M$$ и коэффициентом $$k=-\frac12.$$ Тогда точка $$A$$ переходит в точку $$A_1,$$ а точка $$B$$ — в точку $$B_1,$$ точка $$C$$ — в точку $$C_1,$$ так как середины соответствующих сторон лежат на прямых, проходящих через $$M$$, и делят медианы в указанном отношении.

Следовательно, прямые $$BB_1$$ и $$CC_1$$ также проходят через точку $$M.$$ Значит, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке $$M.$$

Кроме того, точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $$2:1,$$ считая от вершины, то есть

$$AM:MA_1=BM:MB_1=CM:MC_1=2:1.$$