Упр.1340 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Пусть $$M$$ — точка, делящая медиану $$AA_1$$ треугольника $$ABC$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины, $$B_1$$ — середина стороны $$AC$$ треугольника. Докажите, не используя свойство медиан, что при гомотетии с центром в точке $$M$$ и коэффициентом $$k=-\frac{1}{2}$$ отрезок $$AB$$ переходит в отрезок $$A_1B_1$$, причём точка $$A$$ переходит в точку $$A_1$$, а точка $$B$$ — в точку $$B_1$$.

Так как $$A_1B_1$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, то

$$A_1B_1 \parallel AB,\qquad A_1B_1=\frac12\,AB.$$

При гомотетии с центром в точке $$M$$ и коэффициентом $$k=-\frac12$$ точка $$A$$ переходит в точку $$A_1$$, потому что $$M$$ делит медиану $$AA_1$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины $$A$$.

Образ отрезка $$AB$$ при такой гомотетии должен быть отрезком, параллельным $$AB$$ и вдвое меньшей длины. На прямой, проходящей через $$A_1$$ параллельно $$AB$$, таким отрезком является именно $$A_1B_1$$. Следовательно, точка $$B$$ переходит в точку $$B_1$$.

Значит, при данной гомотетии отрезок $$AB$$ переходит в отрезок $$A_1B_1$$, причём $$A \mapsto A_1$$ и $$B \mapsto B_1$$, что и требовалось доказать.