Упр.1339 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

При гомотетии с коэффициентом k=1/3 и центром в точке A, любая точка X этой окружности перейдет в точку X_1, точка X_1 делит отрезок AX в отношении 1:3,считая от точки A, то есть такая окружность является искомой, что и требовалось доказать.
Ответ: O_1 принадлежит OA; AO_1 : OO_1=1:3.

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $$A$$ и коэффициентом $$k=\frac13$$. При такой гомотетии любая точка $$X$$ данной окружности перейдёт в точку $$X_1$$, лежащую на отрезке $$AX$$, причём

$$AX_1=\frac13\,AX,$$

то есть точка $$X_1$$ делит хорду $$AX$$ в отношении $$1:3$$, считая от точки $$A$$.

Так как при гомотетии окружность переходит в окружность, то множество всех таких точек $$X_1$$ также является окружностью.

Центр этой окружности — образ центра $$O$$ исходной окружности при той же гомотетии. Значит, центр новой окружности лежит на прямой $$AO$$ и удовлетворяет условию

$$AO_1=\frac13\,AO.$$

Следовательно, $$O_1$$ лежит на отрезке $$OA$$ и делит его в отношении

$$AO_1:O_1O=1:2.$$

Ответ

Множество таких точек — окружность. Её центр $$O_1$$ лежит на прямой $$OA$$ и делит отрезок $$OA$$ в отношении $$AO_1:O_1O=1:2$$, то есть $$AO_1=\frac13\,AO$$.