Упр.1339 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Через данную точку $$A$$ окружности проведены всевозможные хорды. Используя гомотетию с центром в точке $$A$$, докажите, что множество точек, делящих эти хорды в отношении $$1:3$$, считая от точки $$A$$, есть окружность. Укажите положение центра этой окружности.

Подробный ответ

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $$A$$ и коэффициентом $$k=\frac13$$. При этой гомотетии каждая точка $$X$$ данной окружности переходит в точку $$X_1$$, лежащую на луче $$AX$$ и такую, что

$$AX_1=\frac13\,AX.$$

Значит, точка $$X_1$$ делит хорду, проведённую через точку $$A$$, в отношении $$1:3$$, считая от точки $$A$$. Так как при гомотетии окружность переходит в окружность, то множество всех таких точек $$X_1$$ есть окружность.

Центр этой окружности лежит на прямой $$AO$$, где $$O$$ — центр исходной окружности. Поскольку при гомотетии центр окружности переходит в точку $$O_1$$, то

$$O_1\in AO,\qquad AO_1:OO_1=1:3.$$

Ответ: множество искомых точек — окружность; её центр $$O_1$$ лежит на прямой $$AO$$ и делит отрезок $$AO$$ в отношении $$1:3$$.