Упр.1338 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Даны прямая $$l$$ и точка $$O$$, не лежащая на ней. Пусть $$X$$ — любая точка прямой $$l$$. Используя гомотетию с центром в точке $$O$$, докажите, что множество точек, делящих отрезок $$OX$$ в отношении $$1:3$$, считая от точки $$O$$, есть прямая, параллельная прямой $$l$$.

Рассмотрим произвольные точки $$X$$ и $$X’$$ прямой $$l$$. При гомотетии с центром в точке $$O$$ и коэффициентом $$k=\frac13$$ точки $$X$$ и $$X’$$ перейдут в точки $$A$$ и $$B$$ соответственно, причём

$$OA=\frac13\,OX,\qquad OB=\frac13\,OX’.$$

Значит, точки $$A$$ и $$B$$ делят отрезки $$OX$$ и $$OX’$$ в отношении $$1:3$$, считая от точки $$O$$.

Так как при гомотетии прямая, не проходящая через центр, переходит в прямую, параллельную исходной, то образ прямой $$l$$ есть прямая $$l_1$$, причём $$l_1 \parallel l$$.

Следовательно, все точки, делящие отрезки $$OX$$ в отношении $$1:3$$, лежат на одной прямой, параллельной прямой $$l$$. Это и требовалось доказать.