Упр.1337 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1337. Дана прямая l и точка О, не лежащая на ней. Используя гомотетию с центром в точке О, докажите, что множество середин всех отрезков ОХ, где X — любая точка прямой l, есть прямая, параллельная прямой l.

Рассмотрим произвольную точку $$X$$ прямой $$l$$ и обозначим через $$A$$ середину отрезка $$OX$$. Тогда при гомотетии с центром в точке $$O$$ и коэффициентом $$k=\frac12$$ точка $$X$$ переходит в точку $$A$$.

Возьмём ещё одну произвольную точку $$X’$$ прямой $$l$$ и обозначим через $$B$$ середину отрезка $$OX’$$. Аналогично, при той же гомотетии точка $$X’$$ переходит в точку $$B$$.

Так как при гомотетии прямая, не проходящая через центр гомотетии, переходит в параллельную ей прямую, то образ прямой $$l$$ есть прямая $$l_1$$, причём $$l_1 \parallel l$$. Следовательно, точки $$A$$ и $$B$$ лежат на одной прямой $$l_1$$.

Значит, все середины отрезков $$OX$$, где $$X$$ — любая точка прямой $$l$$, лежат на одной и той же прямой $$l_1$$, параллельной прямой $$l$$.

Ответ

Множество середин всех отрезков $$OX$$ есть прямая, параллельная прямой $$l$$.