Упр.1337 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Дана прямая $$l$$ и точка $$O$$, не лежащая на ней. Используя гомотетию с центром в точке $$O$$, докажите, что множество середин всех отрезков $$OX$$, где $$X$$ — любая точка прямой $$l$$, есть прямая, параллельная прямой $$l$$.

Рассмотрим произвольные точки $$X$$ и $$X’$$ прямой $$l$$ и обозначим через $$A$$ и $$B$$ середины отрезков $$OX$$ и $$OX’$$.

При гомотетии с центром в точке $$O$$ и коэффициентом $$k=\frac12$$ точка $$X$$ переходит в точку $$A$$, а точка $$X’$$ — в точку $$B$$. Так как при гомотетии прямая, не проходящая через центр, переходит в параллельную ей прямую, то образ прямой $$l$$ есть прямая $$AB$$, причём $$AB \parallel l$$.

Следовательно, все середины отрезков $$OX$$, где $$X$$ — любая точка прямой $$l$$, лежат на одной прямой, параллельной $$l$$. Обратно, любая точка этой прямой является серединой некоторого отрезка $$OX$$.

Ответ: множество середин всех отрезков $$OX$$ есть прямая, параллельная прямой $$l$$.