Упр.1334 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

В остроугольный треугольник $$ABC$$ впишите квадрат $$PQRS$$ так, чтобы вершины $$P$$ и $$Q$$ принадлежали стороне $$AC$$, а вершины $$R$$ и $$S$$ — соответственно сторонам $$BC$$ и $$BA$$ (рис. 412).

Построим вспомогательный квадрат $$DFGE$$.

1. Отметим произвольную точку $$D$$ на стороне $$AB$$.
2. Из точки $$B$$ опустим перпендикуляр $$DE$$ на прямую $$AC$$.
3. На прямой $$AC$$ отложим отрезок $$EG$$, равный отрезку $$DE$$.
4. Через точку $$D$$ проведём перпендикуляр к отрезку $$DE$$.
5. На этом перпендикуляре отложим отрезок $$DF$$, равный $$DE$$.

Тогда $$DF \perp DE$$ и $$DF=DE$$, значит $$DFGE$$ — квадрат.

Теперь проведём гомотетию с центром в точке $$A$$, при которой квадрат $$DFGE$$ перейдёт в квадрат $$PQRS$$. При этом точки $$E$$ и $$G$$ перейдут на сторону $$AC$$, а точки $$D$$ и $$F$$ — соответственно на стороны $$BA$$ и $$BC$$. Следовательно, полученный квадрат $$PQRS$$ вписан в треугольник $$ABC$$ так, как требуется: $$P,Q \in AC$$, $$R \in BC$$, $$S \in BA$$.

Таким образом, искомый квадрат можно построить указанным способом.