Упр.1332 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1332. Две окружности пересекаются в точках А и В. На прямой АВ взята точка К — внешняя относительно данных окружностей. Через точку К проведены две секущие m и l так, что m пересекает одну окружность в точках С и D, а l пересекает другую окружность в точках Е и F. Докажите, что KC·KD=KE·KF.

Подробный ответ

Рассмотрим точку $$K$$ как точку пересечения прямой $$AB$$ с каждой из секущих.

Для секущей $$m$$, пересекающей одну из окружностей в точках $$C$$ и $$D$$, по теореме о степени точки получаем:

$$KA \cdot KB = KC \cdot KD.$$

Для секущей $$l$$, пересекающей другую окружность в точках $$E$$ и $$F$$, аналогично:

$$KA \cdot KB = KE \cdot KF.$$

Следовательно,

$$KC \cdot KD = KA \cdot KB = KE \cdot KF.$$

Значит,

$$KC \cdot KD = KE \cdot KF,$$

что и требовалось доказать.