Упр.1331 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через точку \(М\), внутреннюю относительно окружности с центром \(О\) и радиусом \(R\), проходит хорда \(АВ\). Докажите, что $$MA\cdot MB=R^2-MO^2.$$

Проведём через точку $$M$$ диаметр $$CD$$ окружности. Тогда $$O$$ — середина диаметра, значит

$$OC=OD=R.$$

Так как точка $$M$$ лежит между $$O$$ и $$D$$, то

$$MD=OD-OM=R-OM,$$

а также

$$MC=OC+OM=R+OM.$$

Хорды $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$M$$, поэтому по теореме о пересекающихся хордах

$$MA\cdot MB=MC\cdot MD.$$

Подставим найденные выражения:

$$MA\cdot MB=(R+OM)(R-OM)=R^2-MO^2.$$

Что и требовалось доказать.