Упр.1330 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через точку $$M$$ — внешнюю относительно окружности с центром $$O$$ и радиусом $$R$$, проведена секущая, пересекающая окружность в точках $$A$$ и $$B$$. Докажите, что $$MA \cdot MB = MO^2 — R^2$$.

Проведём через точку $$M$$ касательную $$MC$$ к окружности с центром $$O$$. Тогда радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, значит $$OC \perp MC$$ и $$OC=R$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OCM$$. По теореме Пифагора:

$$MC^2=OM^2-OC^2=OM^2-R^2.$$

Для точки $$M$$, лежащей вне окружности, произведение отрезков секущей равно квадрату касательной:

$$MA\cdot MB=MC^2.$$

Следовательно,

$$MA\cdot MB=OM^2-R^2.$$

Что и требовалось доказать.