Упр.1328 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1328. В треугольнике АВС сторона АВ равна 6, а медиана, проведённая к этой стороне, равна 4. Найдите длину общей хорды двух окружностей, каждая из которых проходит через точку С и касается АВ, причём одна касается в точке А, а другая — в точке В.

Подробный ответ

Обозначим точки касания окружностей с прямой $$AB$$ через $$A$$ и $$B$$, а их вторую общую точку через $$C$$. Пусть общая хорда этих окружностей пересекает медиану $$CM$$ в точке $$F$$.

Так как $$CM$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то

$$AM=BM=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3.$$

Рассмотрим первую окружность, касающуюся $$AB$$ в точке $$A$$. Для точки $$M$$, лежащей на хорде $$CF$$ этой окружности, по теореме о степени точки имеем:

$$AM^2=MF\cdot MC.$$

Так как $$MC=4$$, то

$$3^2=MF\cdot 4,$$

$$MF=\frac{9}{4}=2{,}25.$$

Тогда

$$CF=MC-MF=4-2{,}25=1{,}75.$$

Для второй окружности, касающейся $$AB$$ в точке $$B$$, рассуждение аналогично:

$$BM^2=MF\cdot MC,$$

откуда снова получаем

$$MF=\frac{9}{4}=2{,}25,$$

и значит

$$CF=4-2{,}25=1{,}75.$$