Упр.1328 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В треугольнике $$ABC$$ сторона $$AB$$ равна $$6$$, а медиана, проведённая к этой стороне, равна $$4$$. Найдите длину общей хорды двух окружностей, каждая из которых проходит через точку $$C$$ и касается $$AB$$, причём одна касается в точке $$A$$, а другая — в точке $$B$$.

Подробный ответ

Обозначим точки касания окружностей с прямой $$AB$$ через $$A$$ и $$B$$, а их общую хорду — через $$CF$$. Пусть $$M$$ — середина стороны $$AB$$. Тогда $$AM=BM=\frac{AB}{2}=3$$.

Рассмотрим первую окружность, касающуюся $$AB$$ в точке $$A$$. Центр этой окружности лежит на перпендикуляре к $$AB$$, проведённом через $$A$$. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с медианой $$CM$$ через $$F_1$$. Тогда $$CF_1$$ — часть общей хорды, а треугольник $$AMF_1$$ прямоугольный, поэтому

$$AM^2=MF_1\cdot MC.$$

Так как $$MC=4$$, а $$AM=3$$, получаем

$$3^2=MF_1\cdot 4,$$

$$MF_1=\frac{9}{4}=2{,}25.$$

Тогда

$$CF_1=MC-MF_1=4-2{,}25=1{,}75.$$

Аналогично для второй окружности, касающейся $$AB$$ в точке $$B$$, получаем ту же длину общей хорды:

$$CF_2=1{,}75.$$

Следовательно, общая хорда двух окружностей имеет длину

$$CF=1{,}75\text{ см}.$$

Ответ: $$1{,}75\text{ см}$$.