Упр.1322 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Начертите параллелограмм $$ABCD$$, отметьте на плоскости точки $$O$$ и $$A_1$$ так, чтобы $$A_1$$, $$O$$ и $$A$$ лежали на одной прямой. Рассмотрите гомотетию с центром в точке $$O$$, при которой точка $$A$$ переходит в точку $$A_1$$. Используя свойства гомотетии, постройте параллелограмм $$A_1B_1C_1D_1$$, в который переходит параллелограмм $$ABCD$$ при заданной гомотетии.
При гомотетии с центром в точке $$O$$ образ каждой точки лежит на прямой, проходящей через $$O$$ и эту точку. Поэтому точки $$A$$ и $$A_1$$ уже задают направление гомотетии, а образы остальных вершин параллелограмма нужно построить на лучах $$OB$$, $$OC$$ и $$OD$$.
Построим точки $$B_1$$, $$C_1$$ и $$D_1$$, гомотетичные соответственно точкам $$B$$, $$C$$ и $$D$$ с центром $$O$$. Для этого проведём прямые $$OB$$, $$OC$$, $$OD$$ и отложим на них точки так, чтобы выполнялось одно и то же отношение
$$\frac{OA_1}{OA}=\frac{OB_1}{OB}=\frac{OC_1}{OC}=\frac{OD_1}{OD}.$$
После этого соединим точки $$A_1B_1C_1D_1$$. Так как гомотетия сохраняет параллельность, то
$$A_1B_1 \parallel AB,\quad B_1C_1 \parallel BC,\quad C_1D_1 \parallel CD,\quad D_1A_1 \parallel DA,$$
следовательно, четырёхугольник $$A_1B_1C_1D_1$$ является параллелограммом — образом параллелограмма $$ABCD$$ при заданной гомотетии.
