Упр.132 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ $$AB=A_1B_1$$, $$BC=B_1C_1$$, угол $$B$$ = угол $$B_1$$. На сторонах $$AB$$ и $$A_1B_1$$ отмечены точки $$D$$ и $$D_1$$ так, что угол $$ACD$$ = угол $$A_1C_1D_1$$. Докажите, что $$ABCD — A_1B_1C_1D_1$$.
2. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла $$A$$, пересекает стороны угла в точках $$M$$ и $$N$$. Докажите, что треугольник $$AMN$$ — равнобедренный.

Рассмотрим прямую $$a$$, которая перпендикулярна биссектрисе $$AA_1$$ угла $$A$$, и точки пересечения этой прямой со сторонами угла: $$N$$ и $$M$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ANA_1$$ и $$\triangle AMA_1$$.

У них:

• $$AA_1$$ — общая сторона;
• $$\angle NAA_1 = \angle MAA_1$$, так как $$AA_1$$ — биссектриса угла $$A$$;
• $$\angle NA_1A = \angle MA_1A$$, так как $$a \perp AA_1$$, а точки $$N$$ и $$M$$ лежат на прямой $$a$$.

Следовательно, $$\triangle ANA_1 \cong \triangle AMA_1$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда соответствующие стороны равны:

$$AN = AM.$$

Значит, треугольник $$AMN$$ равнобедренный.

Ответ: $$AM = AN$$, следовательно, $$\triangle AMN$$ равнобедренный.