Упр.1313 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Перечертите рисунок 401, а–г в тетрадь и постройте треугольники, в которые переходят данные треугольники при гомотетии с данным центром и коэффициентом:

а) треугольник $$ABC$$, центр гомотетии $$O$$, $$k=3$$;

б) треугольник $$XYZ$$, центр гомотетии $$Z$$, $$k=\frac{1}{2}$$;

в) треугольник $$PQR$$, центр гомотетии $$P$$, $$k=-2$$;

г) треугольник $$LMN$$, центр гомотетии $$E$$ — середина отрезка $$LM$$, $$k=-\frac{1}{2}$$.

Подробный ответ

При гомотетии каждая вершина треугольника переходит в точку на прямой, проходящей через центр гомотетии и эту вершину. При $$k>0$$ точка-образ лежит по ту же сторону от центра, что и исходная вершина, а при $$k<0$$ — по другую сторону. Расстояния от центра увеличиваются или уменьшаются в $$|k|$$ раз.

а)

При $$k=3$$ нужно отложить от центра $$O$$ на лучах $$OA$$, $$OB$$, $$OC$$ точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ так, чтобы

$$OA_1=3\cdot OA,\quad OB_1=3\cdot OB,\quad OC_1=3\cdot OC.$$

Тогда искомый треугольник — $$A_1B_1C_1$$.

б)

При $$k=\frac12$$ центр гомотетии — точка $$Z$$, значит $$Z$$ остаётся неподвижной. Точки $$X_1$$ и $$Y_1$$ лежат на лучах $$ZX$$ и $$ZY$$ и удовлетворяют равенствам

$$ZX_1=\frac12\,ZX,\quad ZY_1=\frac12\,ZY.$$

Следовательно, образ треугольника $$XYZ$$ — треугольник $$ZX_1Y_1$$.

в)

При $$k=-2$$ центр гомотетии — точка $$P$$. Поэтому точки $$P$$, $$Q$$ и $$R$$ переходят так, что

$$PQ_1=2\cdot PQ,\quad PR_1=2\cdot PR,$$

причём точки $$Q_1$$ и $$R_1$$ лежат на прямых $$PQ$$ и $$PR$$ по другую сторону от $$P$$, чем точки $$Q$$ и $$R$$.

Точка $$P$$ остаётся на месте. Искомый треугольник — $$P Q_1 R_1$$.

г)

При $$k=-\frac12$$ центр гомотетии — точка $$E$$, причём $$E$$ — середина отрезка $$LM$$. Значит, образ точки $$L$$ лежит на прямой $$EL$$ по другую сторону от $$E$$, а образ точки $$M$$ — на прямой $$EM$$ по другую сторону от $$E$$, и

$$EL_1=\frac12\,EL,\quad EM_1=\frac12\,EM.$$

Так как $$E$$ — середина $$LM$$, то $$EL=EM$$, следовательно, точки $$L_1$$ и $$M_1$$ являются серединами отрезков $$EN$$ и $$EM$$ соответственно в построении на рисунке. Искомый треугольник — $$L_1M_1N_1$$, где $$N_1$$ — образ точки $$N$$ при данной гомотетии.