Упр.131 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На рисунке 74 уголDAB = уголCBA, уголCAB = уголDBA, AC =13 см. Найдите BD. В треугольниках DEF и MNP EF — NP, DF = MP и угол F = угол P. Биссектрисы углов Е и D пересекаются в точке О, а биссектрисы углов М и N — в точке К. Докажите, что угол DOE = угол MKN.

Рассмотрим треугольники $$ACB$$ и $$ADB$$. По условию

$$\angle DAB=\angle CBA,$$

$$\angle CAB=\angle DBA,$$

а сторона $$AB$$ у них общая.

Следовательно, треугольники $$ACB$$ и $$ADB$$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда соответствующие стороны равны:

$$BD=AC.$$

Так как $$AC=13\text{ см},$$ то

$$BD=13\text{ см}.$$

Теперь докажем равенство углов $$\angle DOE$$ и $$\angle MKN$$.

Треугольники $$DEF$$ и $$MNP$$ равны по двум сторонам и углу между ними, так как

$$EF=NP,$$

$$DF=MP,$$

$$\angle F=\angle P.$$

Отсюда следует, что

$$DE=MN,$$

$$\angle D=\angle M,$$

$$\angle E=\angle N.$$

Так как $$DO$$ и $$MO$$ являются биссектрисами соответствующих углов, то

$$\angle EDO=\frac{1}{2}\angle D,$$

$$\angle NMK=\frac{1}{2}\angle M.$$

Из равенства $$\angle D=\angle M$$ получаем

$$\angle EDO=\angle NMK.$$

Аналогично, поскольку $$EO$$ и $$NK$$ — биссектрисы, имеем

$$\angle DEO=\frac{1}{2}\angle E,$$

$$\angle MKN=\frac{1}{2}\angle N.$$

Из равенства $$\angle E=\angle N$$ следует

$$\angle DEO=\angle MKN.$$

Теперь в треугольниках $$DOE$$ и $$MKN$$:

$$DE=MN,$$

$$\angle EDO=\angle NMK,$$

$$\angle DEO=\angle MKN.$$

Следовательно, треугольники $$DOE$$ и $$MKN$$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, их соответствующие углы равны:

$$\angle DOE=\angle MKN.$$

Ответ: $$BD=13\text{ см},\ \angle DOE=\angle MKN.$$