Упр.1309 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1309. Отметьте пять точек и обозначьте их буквами О, А, В, С, D. а) Постройте точки A_1, B_1, C_1, D_1 так, чтобы при гомотетии с центром в точке О и коэффициентом 2 точки А, В, С и D перешли соответственно в точки A_1, B_1, C_1, D_1; б) выполните предыдущее задание для гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k=-3. Докажите, что плоскость, проходящая через ребро и середину противоположного ребра тетраэдра, разделяет его на две части, объёмы которых равны.

а) При гомотетии с центром $$O$$ и коэффициентом $$k=2$$ образ каждой точки лежит на луче, выходящем из $$O$$ через эту точку, и расстояние от центра увеличивается в 2 раза. Поэтому нужно построить точки $$A_1, B_1, C_1, D_1$$ на лучах $$OA, OB, OC, OD$$ так, чтобы

$$OA_1=2\cdot OA,\quad OB_1=2\cdot OB,\quad OC_1=2\cdot OC,\quad OD_1=2\cdot OD.$$

б) При гомотетии с центром $$O$$ и коэффициентом $$k=-3$$ образ точки лежит на прямой, проходящей через центр и данную точку, но по другую сторону от центра. Кроме того, расстояние от центра увеличивается в 3 раза. Значит, точки $$A_1, B_1, C_1, D_1$$ надо отметить на прямых $$OA, OB, OC, OD$$ по другую сторону от $$O$$ так, чтобы

$$OA_1=3\cdot OA,\quad OB_1=3\cdot OB,\quad OC_1=3\cdot OC,\quad OD_1=3\cdot OD.$$

Доказательство. Пусть тетраэдр $$DABC$$ и точка $$E$$ — середина ребра $$BC$$. Проведём плоскость через ребро $$AD$$ и точку $$E$$. Эта плоскость пересекает грань $$ABC$$ по отрезку $$AE$$, а грань $$DBC$$ — по отрезку $$DE$$.

В треугольнике $$ABC$$ отрезок $$AE$$ — медиана, поэтому

$$BE=EC.$$

Треугольники $$ABE$$ и $$AEC$$ имеют общую высоту, опущенную из $$A$$ на прямую $$BC$$, и равные основания $$BE$$ и $$EC$$. Следовательно,

$$S_{ABE}=S_{AEC}.$$

Значит, плоскость делит треугольник $$ABC$$ на две равновеликие части.

Теперь рассмотрим пирамиды $$DAEB$$ и $$DAEC$$. У них общая высота, равная расстоянию от точки $$D$$ до плоскости $$ABC$$, а основания равновелики:

$$S_{ABE}=S_{AEC}.$$

Следовательно, объёмы этих пирамид равны:

$$V_{DAEB}=\frac{1}{3}S_{ABE}h,\qquad V_{DAEC}=\frac{1}{3}S_{AEC}h,$$

откуда

$$V_{DAEB}=V_{DAEC}.$$

Итак, плоскость, проходящая через ребро и середину противоположного ребра тетраэдра, делит его на две части равного объёма.

Ответ

При $$k=2$$: $$OA_1=2OA$$, $$OB_1=2OB$$, $$OC_1=2OC$$, $$OD_1=2OD$$; при $$k=-3$$: точки лежат на тех же прямых по другую сторону от $$O$$ и $$OA_1=3OA$$, $$OB_1=3OB$$, $$OC_1=3OC$$, $$OD_1=3OD$$. Объёмы двух частей тетраэдра равны.