Упр.1307 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Длина стороны квадрата $$F$$ равна $$a$$. Построен многоугольник $$F_1$$, подобный многоугольнику $$F$$.
   а) Докажите, что многоугольник $$F$$ — квадрат.
   б) Найдите площадь многоугольника $$F_1$$, если коэффициент подобия многоугольников $$F$$ и $$F_1$$ равен $$k$$.
2. Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же размеров.

Для квадрата все углы прямые, а все стороны равны. Значит, если многоугольник $$F$$ — квадрат, то

$$\angle M=\angle N=\angle P=\angle Q=90^\circ,$$

$$MN=NP=PQ=QM=a.$$

Так как многоугольники $$F$$ и $$F_1$$ подобны, то у многоугольника $$F_1$$ все углы равны соответствующим углам многоугольника $$F$$, то есть

$$\angle M_1=\angle N_1=\angle P_1=\angle Q_1=90^\circ.$$

Следовательно, многоугольник $$F_1$$ тоже является квадратом.

Если коэффициент подобия многоугольников $$F$$ и $$F_1$$ равен $$k$$, то сторона квадрата $$F_1$$ равна $$ak$$. Тогда его площадь

$$S_{F_1}=(ak)^2=k^2a^2.$$

Ответ: $$F_1$$ — квадрат, $$S_{F_1}=k^2a^2.$$