Упр.1306 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Многоугольники $$F_1$$ и $$F_2$$ подобны. Пусть $$S_1$$ и $$S_2$$ — их площади, а $$k$$ — коэффициент подобия многоугольника $$F_1$$ относительно $$F_2$$. Используя теорему о площадях подобных многоугольников, заполните таблицу.
2. Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удалённых от него вершин куба. Как должен двигаться паук?

Пусть ребро куба равно $$a$$. Тогда точка $$E$$ — середина ребра $$AA_1$$, а муха сидит в вершине $$C$$, наиболее удалённой от точки $$E$$ по граням куба.

Развернём две смежные грани куба так, чтобы они лежали в одной плоскости. Тогда кратчайший путь по поверхности из $$E$$ в $$C$$ изображается отрезком.

В развертке получаем прямоугольник со сторонами $$a$$ и $$\frac{a}{2}$$, поэтому

$$EC=\sqrt{a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}} =\frac{a\sqrt{5}}{2}.$$

Следовательно, паук должен двигаться по поверхности куба по кратчайшему пути: сначала по грани от середины ребра $$AA_1$$ к ребру, а затем к вершине $$C$$, то есть по прямой в развертке двух граней.

Ответ: кратчайший путь — отрезок в развертке двух смежных граней; его длина равна $$\frac{a\sqrt{5}}{2}$$.