Упр.1303 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Могут ли быть подобными многоугольники $$F$$ и $$F_1$$, если:
а) $$F$$ — остроугольный, а $$F_1$$ — тупоугольный треугольники;
б) $$F$$ — равносторонний треугольник, а $$F_1$$ — равнобедренный, но не равносторонний треугольник;
в) $$F$$ — прямоугольник, а $$F_1$$ — квадрат;
г) $$F$$ и $$F_1$$ — прямоугольники;
д) $$F$$ и $$F_1$$ — пятиугольники;
е) $$F$$ — шестиугольник, а $$F_1$$ — пятиугольник. Ответ обоснуйте.
Даны прямая, окружность и точка $$A$$, не лежащая на них. Постройте квадрат $$ABCD$$ так, чтобы вершина $$B$$ лежала на данной прямой, а вершина $$D$$ — на данной окружности.

Подробный ответ

Пусть квадрат $$ABCD$$ нужно построить так, чтобы $$B \in a$$, $$D \in O$$.

Используем свойство квадрата: его диагонали перпендикулярны и пересекаются в одной точке, а поворот на $$90^\circ$$ вокруг вершины переводит одну сторону в соседнюю.

Через точку $$A$$ проведём перпендикуляр $$AF$$ к прямой $$a$$ и на нём отложим отрезок $$AE=AF$$.
Через точку $$E$$ проведём прямую $$a’$$, перпендикулярную $$AE$$. Тогда $$a’$$ получается из прямой $$a$$ поворотом на $$90^\circ$$ вокруг точки $$A$$.
Точку $$D$$ возьмём как точку пересечения прямой $$a’$$ с данной окружностью $$O$$.
Через точку $$A$$ проведём прямую, перпендикулярную $$AD$$, и обозначим через $$B$$ её пересечение с прямой $$a$$.
Через точки $$B$$ и $$D$$ проведём прямые, перпендикулярные соответственно $$AB$$ и $$AD$$. Их пересечение обозначим через $$C$$.

Полученный четырёхугольник $$ABCD$$ — квадрат: по построению $$AB \perp AD$$, а также $$BC \perp AB$$ и $$DC \perp AD$$, значит все его углы прямые. Кроме того, противоположные стороны параллельны, следовательно, это прямоугольник с равными соседними сторонами, то есть квадрат.

Ответ: квадрат $$ABCD$$ построен.