Упр.130 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На рисунке 74 $$\angle DAC=\angle DBC$$, $$AO=BO$$. Докажите, что $$\angle C=\angle D$$ и $$AC=BD$$.
2. В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ отрезки $$CO$$ и $$C_1O_1$$ — медианы, $$BC=B_1C_1$$, $$\angle B=\angle B_1$$ и $$\angle C=\angle C_1$$. Докажите, что: а) треугольник $$ACO$$ = треугольник $$A_1C_1O_1$$; б) треугольник $$BCO$$ = треугольник $$B_1C_1O_1$$.

Так как $$AO=BO,$$ то треугольник $$AOB$$ равнобедренный, значит, $$\angle OAB=\angle OBA.$$

Запишем углы $$\angle CAB$$ и $$\angle DBA$$:

$$\angle CAB=\angle OAB+\angle CAO,$$

$$\angle DBA=\angle OBA+\angle DBC.$$

По условию $$\angle DAC=\angle DBC,$$ а также $$\angle CAO=\angle DAC,$$ поэтому

$$\angle CAO=\angle DBC.$$

Тогда из равенства $$\angle OAB=\angle OBA$$ получаем

$$\angle CAB=\angle DBA.$$

Рассмотрим треугольники $$CAB$$ и $$DBA.$$ У них:

• $$AB$$ — общая сторона;
• $$\angle CAB=\angle DBA$$;
• $$\angle CBA=\angle DAB$$, так как $$\angle CBA=\angle OBA+\angle OBC$$ и $$\angle DAB=\angle OAB+\angle DAC,$$ а $$\angle OBA=\angle OAB,$$ $$\angle OBC=\angle DAC.$$

Следовательно, $$\triangle CAB \cong \triangle DBA$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Отсюда как соответствующие элементы равных треугольников получаем:

$$\angle C=\angle D,\qquad AC=BD.$$

Ответ: $$\angle C=\angle D,\ AC=BD.$$