Упр.1297 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1297. Докажите, что если для прямоугольников ABCD и A_1B_1C_1D_1 выполняются равенства AB=A_1B_1 и BC=B_1C_1, то прямоугольники равны. Даны две окружности и прямая. Постройте правильный треугольник так, чтобы две вершины лежали соответственно на данных окружностях, а высота, проведённая из третьей вершины, — на данной прямой.

Подробный ответ

1) У прямоугольников $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ все углы прямые, значит

$$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ,$$

$$\angle A_1=\angle B_1=\angle C_1=\angle D_1=90^\circ.$$

Кроме того, в прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому

$$CD=AB,\quad AD=BC,$$

$$C_1D_1=A_1B_1,\quad A_1D_1=B_1C_1.$$

По условию $$AB=A_1B_1$$ и $$BC=B_1C_1$$, значит

$$CD=C_1D_1,\quad AD=A_1D_1.$$

Следовательно, у прямоугольников попарно равны все соответствующие стороны, а все углы равны. Значит, $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ равны.

2) Построение правильного треугольника.

Пусть нужно построить $$\triangle ABC$$ так, чтобы $$A\in O_1,$$ $$B\in O_2,$$ а высота $$CH$$ лежала на прямой $$a$$.

Построим окружность $$O_2’$$, симметричную окружности $$O_2$$ относительно прямой $$a$$. Тогда точка $$B$$ на окружности $$O_2$$ перейдёт в точку $$B’$$ на окружности $$O_2’$$.

Возьмём точку $$A$$ пересечения окружностей $$O_1$$ и $$O_2’$$.

Через точку $$A$$ проведём перпендикуляр к прямой $$a$$ и обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с прямой $$a$$ через $$H$$.

На прямой $$AH$$ отложим отрезок $$HB=AH$$. Тогда точка $$B$$ будет симметрична точке $$A$$ относительно прямой $$a$$.

Построим окружность с центром в $$A$$ и радиусом $$AB$$. Точку $$C$$ возьмём в пересечении этой окружности с прямой $$a$$.

Тогда $$CA=AB$$, а так как $$B$$ и $$A$$ симметричны относительно $$a$$, то прямая $$a$$ является серединным перпендикуляром к $$AB$$. Следовательно, $$C$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$AB$$, значит

$$CA=CB.$$

Итак, $$AB=BC=CA$$, поэтому $$\triangle ABC$$ — правильный. При этом высота из вершины $$C$$ проходит по прямой $$a$$.