Упр.1297 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что если для прямоугольников $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ выполняются равенства $$AB=A_1B_1$$ и $$BC=B_1C_1$$, то прямоугольники равны.
- Даны две окружности и прямая. Постройте правильный треугольник так, чтобы две вершины лежали соответственно на данных окружностях, а высота, проведённая из третьей вершины, — на данной прямой.
Пусть $$O_2’$$ — образ центра $$O_2$$ при осевой симметрии относительно прямой $$a$$. Тогда окружность с центром $$O_2’$$ и тем же радиусом, что и у данной окружности с центром $$O_2$$, симметрична данной окружности относительно прямой $$a$$.
Обозначим эту окружность через $$\omega_2’$$. Построим точку $$A$$ как одну из точек пересечения окружностей $$\omega_1$$ и $$\omega_2’$$, где $$\omega_1$$ — данная окружность с центром $$O_1$$.
Через точку $$A$$ проведём перпендикуляр к прямой $$a$$ и обозначим точку его пересечения с прямой $$a$$ через $$H$$. На прямой $$AH$$ отложим отрезок $$HB=AH$$, то есть построим точку $$B$$ так, чтобы $$H$$ была серединой отрезка $$AB$$.
Теперь построим окружность с центром $$A$$ и радиусом $$AB$$. Точку $$C$$ возьмём в пересечении этой окружности с прямой $$a$$.
Докажем, что $$\triangle ABC$$ — правильный.
Так как $$H$$ — середина отрезка $$AB$$ и $$AH\perp a$$, а точки $$H$$ и $$C$$ лежат на прямой $$a$$, то прямая $$a$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AB$$. Следовательно, $$CA=CB$$.
По построению $$AB=AC$$. Значит,
$$AB=AC=BC,$$
то есть треугольник $$ABC$$ равносторонний, а значит, правильный.
Кроме того, точки $$A$$ и $$B$$ лежат соответственно на окружностях $$\omega_1$$ и $$\omega_2$$, а высота, проведённая из вершины $$C$$, совпадает с прямой $$a$$.
Ответ
Построение выполнено; получен правильный треугольник $$ABC$$, у которого $$A\in \omega_1$$, $$B\in \omega_2$$, а высота из $$C$$ лежит на прямой $$a$$.
