Упр.1296 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1296. Шестиугольники ABCDEF и GHKLMN, изображённые на рисунке 386, равны. Назовите их соответственные углы и сходственные стороны. Вершины одного параллелограмма лежат соответственно на сторонах другого параллелограмма. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих параллелограммов совпадают.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $$ABCD$$. Тогда $$O$$ — центр симметрии этого параллелограмма: при центральной симметрии относительно точки $$O$$ имеем

$$A \leftrightarrow C,\quad B \leftrightarrow D.$$

Так как $$E \in AB$$, то при этой симметрии точка $$E$$ переходит в точку $$G \in CD$$. Следовательно, $$O$$ — середина отрезка $$EG$$.

Аналогично, так как $$F \in BC$$, то точка $$F$$ переходит в точку $$H \in AD$$. Значит, $$O$$ — середина отрезка $$FH$$.

Итак, точка $$O$$ является центром симметрии параллелограмма $$EFGH$$, а значит, она же является точкой пересечения его диагоналей.

Следовательно, точки пересечения диагоналей параллелограммов совпадают.