Упр.1295 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1) Совершим поворот прямой c на 60° с центром A;
2) Отметим точку B на пересечении этой прямой с b;
3) Точка будет иной при повороте в другую сторону;
4) Из точки A проведем окружность с радиусом AB;
5) Отметим точку C на пересечении с прямой c.
Ответ: два. Докажите, что два треугольника равны, если две неравные стороны и разность противолежащих им углов одного треугольника соответственно равны двум сторонам и разности противолежащих им углов другого.

Повернём прямую $$c$$ вокруг точки $$A$$ на $$60^\circ$$. Так как прямые $$b$$ и $$c$$ параллельны, образ прямой $$c$$ после поворота пересечёт прямую $$b$$ в некоторой точке $$B$$. Тогда при повороте в другую сторону получим вторую точку пересечения, значит возможны два положения точки $$B$$.

Для найденной точки $$B$$ проведём окружность с центром в $$A$$ и радиусом $$AB$$. Она пересечёт прямую $$c$$ в точке $$C$$. Тогда $$AB=AC$$, а угол между лучами $$AB$$ и $$AC$$ равен $$60^\circ$$, следовательно, $$\triangle ABC$$ равносторонний.

При повороте в противоположную сторону получается другой равносторонний треугольник с вершинами $$B$$ и $$C$$ на прямых $$b$$ и $$c$$. Иных решений нет, так как поворот на $$60^\circ$$ в каждую сторону даёт только по одной точке пересечения с прямой $$b$$.

Ответ: два.

Докажем утверждение.

Пусть в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ выполнено:

$$AC=A_1C_1,\quad BC=B_1C_1,\quad \angle A-\angle B=\angle A_1-\angle B_1,$$

причём $$AC<BC$$ и $$A_1C_1<B_1C_1$$.

Обозначим через $$D$$ середину отрезка $$AB$$, а через $$E$$ — основание перпендикуляра из $$D$$ на $$BC$$. Тогда $$DE$$ — медиана и высота в треугольнике $$ABE$$, значит $$BE=AE$$. Кроме того,

$$\angle BAE=\angle B,\qquad \angle EAC=\angle A-\angle B.$$

Аналогично для треугольника $$A_1B_1C_1$$ получаем точку $$E_1$$ такую, что

$$\angle E_1A_1C_1=\angle A_1-\angle B_1,$$

и

$$A_1E_1+E_1C_1=B_1C_1.$$

Так как $$\angle EAC=\angle E_1A_1C_1$$, а $$AC=A_1C_1$$, то при совмещении отрезков $$AC$$ и $$A_1C_1$$ получаем равенство соответствующих частей:

$$AE=A_1E_1,\qquad EC=E_1C_1.$$

Следовательно,

$$\triangle AEC \cong \triangle A_1E_1C_1$$

по трём сторонам. Значит, при некотором наложении вершины $$A,E,C$$ совместятся с $$A_1,E_1,C_1$$.

Тогда и точки $$B$$ и $$B_1$$, лежащие на продолжениях сторон $$EC$$ и $$E_1C_1$$, также совпадут. Следовательно, совместятся и треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$.

Итак, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$.