Упр.1295 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны параллельные прямые b и c и точка А, не лежащая ни на одной из них. Постройте равносторонний треугольник АВС так, чтобы вершины В и С лежали соответственно на прямых b и c. Сколько решений имеет задача?
2. Докажите, что два треугольника равны, если две неравные стороны и разность противолежащих им углов одного треугольника соответственно равны двум сторонам и разности противолежащих им углов другого.

Пусть $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ — два треугольника, у которых $$AC<BC,$$ $$A_1C_1<B_1C_1,$$ а также

$$AC=A_1C_1,\qquad BC=B_1C_1,\qquad \angle A-\angle B=\angle A_1-\angle B_1.$$

Докажем, что $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1.$$

Разделим отрезок $$AB$$ пополам в точке $$D$$ и проведём через $$D$$ перпендикуляр $$DE\perp AB,$$ где $$E\in BC.$$ Тогда $$DE$$ — медиана и высота треугольника $$ABE,$$ значит, $$BE=AE.$$

Кроме того,

$$\angle BAE=\angle B,\qquad \angle EAC=\angle A-\angle B.$$

Аналогично во втором треугольнике получаем

$$\angle E_1A_1C_1=\angle A_1-\angle B_1.$$

По условию

$$\angle EAC=\angle A-\angle B=\angle A_1-\angle B_1=\angle E_1A_1C_1.$$

Также

$$AE+EC=BC,\qquad A_1E_1+E_1C_1=B_1C_1.$$

Так как $$BC=B_1C_1,$$ то

$$AE+EC=A_1E_1+E_1C_1.$$

Совместим отрезки $$AC$$ и $$A_1C_1.$$ При равных углах $$\angle EAC=\angle E_1A_1C_1$$ сумма двух сторон разбивается на равные отрезки:

$$AE=A_1E_1,\qquad EC=E_1C_1.$$

Следовательно,

$$\triangle AEC \cong \triangle A_1E_1C_1$$

по трём сторонам. Тогда совпадают и продолжения сторон, то есть

$$BC=B_1C_1.$$

При наложении совместились все три вершины, значит,

$$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1.$$

Ответ: треугольники равны.