Упр.1293 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны две пересекающиеся прямые $$a$$ и $$b$$ и точка $$O$$, не лежащая ни на одной из них. Используя центральную симметрию, постройте прямую, проходящую через точку $$O$$, так, чтобы отрезок этой прямой, отсекаемый данными прямыми, делился точкой $$O$$ пополам.
- Докажите, что два параллелограмма равны, если диагонали и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны диагоналям и углу между ними другого.
Пусть прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются в точке $$A$$, а точка $$O$$ не лежит ни на одной из них.
Построим искомую прямую так:
- Из точки $$O$$ опустим перпендикуляр $$OE$$ на прямую $$a$$.
- Построим точку $$F$$, симметричную точке $$E$$ относительно точки $$O$$.
- Через точку $$F$$ проведём прямую, параллельную прямой $$a$$.
- Обозначим через $$B$$ точку пересечения этой прямой с прямой $$b$$.
- Проведём прямую $$OB$$.
Докажем, что она искомая.
Так как $$F$$ симметрична точке $$E$$ относительно $$O$$, то $$O$$ — середина отрезка $$EF$$. Кроме того, $$OE \perp a$$, а значит, прямая $$EF$$ тоже перпендикулярна $$a$$. Следовательно, точка $$F$$ построена правильно, и прямая через $$F$$ параллельна $$a$$.
Рассмотрим отрезок, отсекаемый прямыми $$a$$ и $$b$$ на построенной прямой $$OB$$. Пусть эта прямая пересекает $$a$$ в точке $$C$$, а $$b$$ в точке $$B$$. Тогда точки $$C$$, $$O$$, $$B$$ лежат на одной прямой, и нужно показать, что $$O$$ — середина отрезка $$CB$$.
Из построения и центральной симметрии относительно точки $$O$$ следует, что точка, соответствующая пересечению с прямой $$a$$, переходит в точку пересечения с прямой $$b$$, поэтому отрезки, отсекаемые прямыми $$a$$ и $$b$$ на прямой $$OB$$, равны по частям: $$OC=OB$$.
Значит, $$O$$ является серединой отрезка $$CB$$, то есть искомая прямая построена.
Ответ: провести прямую $$OB$$, где $$B$$ — точка пересечения прямой $$b$$ с прямой, проходящей через точку $$F$$ параллельно $$a$$.
