Упр.1292 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В окружность с центром $$O$$ вписаны два равносторонних треугольника $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$, причём вершины обозначены так, что направление обхода по дуге $$ABC$$ от точки $$A$$ к точке $$C$$ совпадает с направлением обхода по дуге $$A_1B_1C_1$$ от точки $$A_1$$ к точке $$C_1$$. Используя поворот вокруг точки $$O$$, докажите, что прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ либо проходят через точку $$O$$, либо, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник.
- Даны два равных отрезка $$AB$$ и $$A_1B_1$$. Докажите, что существуют два и только два движения, при которых точки $$A$$ и $$B$$ отображаются соответственно в точки $$A_1$$ и $$B_1$$.
Рассмотрим поворот с центром в точке $$O$$, переводящий точку $$A$$ в точку $$A_1$$. Так как треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равносторонние и вписаны в одну окружность, то центральные углы, соответствующие их вершинам, равны $$120^\circ$$. Поэтому при повороте на угол $$120^\circ$$ точки переходят так:
$$A \to B,\quad B \to C,\quad C \to A,$$
и одновременно
$$A_1 \to B_1,\quad B_1 \to C_1,\quad C_1 \to A_1.$$
Следовательно, прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ переходят друг в друга при этом повороте. Значит, их точки пересечения либо совпадают с центром поворота $$O$$, либо образуют треугольник, который также переходит в себя при повороте на $$120^\circ$$ вокруг точки $$O$$.
Но треугольник, сохраняющийся при повороте на $$120^\circ$$, должен быть равносторонним. Поэтому возможны только два случая:
- прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ проходят через точку $$O$$;
- они пересекаются и образуют равносторонний треугольник.
Что и требовалось доказать.
