Упр.1291 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На стороне $$AB$$ прямоугольника $$ABCD$$ построен треугольник $$ABS$$ так, как показано на рисунке 379: $$CC_1$$ перпендикулярно $$AS$$, $$DD_1$$ перпендикулярно $$BS$$. Используя параллельный перенос, докажите, что прямые $$SK$$ и $$AB$$ взаимно перпендикулярны.
2. При данном движении $$g$$ точка $$A$$ отображается в точку $$B$$, а точка $$B$$ — в точку $$A$$. Докажите, что $$g$$ — центральная симметрия или осевая симметрия.

Рассмотрим параллельный перенос, при котором $$B \to C$$. Тогда, так как $$ABCD$$ — прямоугольник, получаем:

$$A \to D,$$

а точка $$S$$ перейдёт в некоторую точку $$E$$, причём

$$SE \parallel BC,\qquad CE \parallel SB,\qquad DE \parallel AS.$$

Теперь рассмотрим точки $$C_1$$ и $$D_1$$. По условию

$$CC_1 \perp AS,\qquad DD_1 \perp SB.$$

Так как $$DE \parallel AS$$ и $$CE \parallel SB,$$ то в треугольнике $$CED$$ имеем:

$$CC_1 \perp DE,\qquad DD_1 \perp CE.$$

Следовательно, точки $$C_1$$ и $$D_1$$ лежат на прямых, проходящих через $$C$$ и $$D$$ перпендикулярно соответственно $$DE$$ и $$CE$$. Значит, при указанном переносе отрезок $$CC_1$$ переходит в отрезок $$DD_1$$, а их пересечение $$K$$ переходит в точку пересечения прямых $$EK$$ и $$CD$$.

Отсюда

$$EK \parallel BC,$$

так как $$SE \parallel BC$$ и точки $$K$$ и $$E$$ лежат на одной прямой, параллельной $$BC.$$

Но в прямоугольнике $$ABCD$$ имеем

$$BC \perp AB.$$

Значит,

$$EK \perp AB.$$

Так как $$K \in EK,$$ то прямая $$SK$$ совпадает с прямой $$EK$$, следовательно,

$$SK \perp AB.$$

Ответ: $$SK \perp AB.$$