Упр.1291 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1291*. На стороне АВ прямоугольника ABCD построен треугольник ABS так, как показано на рисунке 379: CC_1 перпендикулярно AS, DD_1 перпендикулярно BS. Используя параллельный перенос, докажите, что прямые SK и АВ взаимно перпендикулярны. При данном движении g точка А отображается в точку В, а точка В — в точку А. Докажите, что g — центральная симметрия или осевая симметрия.

Подробный ответ

1) В прямоугольнике $$ABCD$$ имеем:

$$BC \parallel AD,\qquad AB \parallel CD.$$

2) Рассмотрим параллельный перенос на вектор $$\overrightarrow{BC}$$. Тогда

$$B \mapsto C,\qquad A \mapsto D,\qquad S \mapsto E.$$

При этом прямые, проходящие через соответствующие точки, переходят в параллельные им прямые, значит

$$CE \parallel SB,\qquad DE \parallel AS,\qquad SE \parallel BC.$$

3) По условию

$$CC_1 \perp AS,\qquad DD_1 \perp SB.$$

Так как $$DE \parallel AS$$ и $$CE \parallel SB$$, то

$$CC_1 \perp DE,\qquad DD_1 \perp CE.$$

Следовательно, в треугольнике $$CED$$ прямые $$CC_1$$ и $$DD_1$$ являются высотами. Их точка пересечения $$K$$ — ортоцентр треугольника $$CED$$.

4) Тогда третья высота треугольника $$CED$$ проходит через точку $$E$$ и перпендикулярна стороне $$CD$$. Но $$CD \parallel AB$$, значит эта высота перпендикулярна и прямой $$AB$$.

Так как точка $$K$$ лежит на этой высоте, то

$$SK \perp AB.$$

Это и требовалось доказать.