Упр.1290 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На сторонах $$AB$$ и $$CD$$ параллелограмма $$ABCD$$ построены квадраты так, как показано на рисунке 378. Используя параллельный перенос, докажите, что отрезок, соединяющий центры этих квадратов, равен и параллелен стороне $$AD$$.
- Постройте границу круга, площадь которого равна:
а) площади кольца между двумя данными концентрическими окружностями;
б) площади данного полукруга;
в) площади данного кругового сектора, ограниченного дугой в $$60^\circ$$.
а) Пусть радиусы данных концентрических окружностей равны $$R$$ и $$r$$, а искомый радиус круга — $$x$$. Тогда
$$\pi x^2=\pi\left(R^2-r^2\right),$$
откуда
$$x^2=R^2-r^2.$$
По теореме Пифагора это можно построить как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами $$R$$ и $$r$$. Значит, искомая граница — окружность радиуса $$x=\sqrt{R^2-r^2}$$.
б) Пусть радиус данного полукруга равен $$R$$, а радиус искомого круга — $$x$$. Тогда
$$\pi x^2=\frac{\pi R^2}{2},$$
следовательно,
$$x=\frac{R}{\sqrt{2}}.$$
Значит, нужно построить окружность радиуса $$\frac{R}{\sqrt{2}}$$.
в) Пусть радиус данного сектора равен $$R$$, а радиус искомого круга — $$x$$. Так как сектор ограничен дугой в $$60^\circ$$, его площадь равна
$$S=\frac{60^\circ}{360^\circ}\pi R^2=\frac{\pi R^2}{6}.$$
Тогда
$$\pi x^2=\frac{\pi R^2}{6},$$
откуда
$$x=\frac{R}{\sqrt{6}}.$$
Следовательно, нужно построить окружность радиуса $$\frac{R}{\sqrt{6}}$$.
