Упр.1289 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Медианы $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$M$$. Точки $$A_2$$, $$B_2$$ и $$C_2$$ являются соответственно серединами отрезков $$AM$$, $$BM$$ и $$CM$$. Докажите, что треугольник $$A_1B_1C_1$$ = треугольник $$A_2B_2C_2$$.
2. На рисунке 373 изображены четыре полуокружности: $$AEB$$, $$AKC$$, $$CFD$$, $$DLB$$, причём $$AC=DB$$. Докажите, что площадь закрашенной фигуры равна площади круга, построенного на отрезке $$EF$$ как на диаметре.

1) В треугольнике $$ABC$$ медиана делит противоположную сторону пополам, а точка пересечения медиан $$M$$ делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Поэтому

$$AM=2MA_1,\qquad BM=2MB_1,\qquad CM=2MC_1.$$

Так как точки $$A_2,\ B_2,\ C_2$$ — середины отрезков $$AM,\ BM,\ CM$$, то

$$A_2M=MA_2=\frac{AM}{2}=MA_1,$$

$$B_2M=MB_2=\frac{BM}{2}=MB_1,$$

$$C_2M=MC_2=\frac{CM}{2}=MC_1.$$

Следовательно, точки $$A_1$$ и $$A_2$$ симметричны относительно точки $$M$$, точки $$B_1$$ и $$B_2$$ симметричны относительно $$M$$, точки $$C_1$$ и $$C_2$$ симметричны относительно $$M$$.

При центральной симметрии относительно точки $$M$$ треугольник $$A_1B_1C_1$$ переходит в треугольник $$A_2B_2C_2$$. Значит, эти треугольники равны.

Ответ: $$\triangle A_1B_1C_1 \cong \triangle A_2B_2C_2$$.