Упр.1288 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны острый угол $$\angle ABC$$ и точка $$D$$ внутри него. Используя осевую симметрию, найдите на сторонах данного угла такие точки $$E$$ и $$F$$, чтобы треугольник $$DEF$$ имел наименьший периметр.
- По данным рисунка 372 докажите, что длина отрезка $$AC$$ равна длине окружности с центром $$O$$ радиуса $$R$$ с точностью до $$0{,}001R$$.
Пусть $$O$$ — центр окружности, $$R$$ — её радиус, $$\angle O=60^\circ$$. Тогда в прямоугольном треугольнике с углом $$30^\circ$$ получаем
$$OA=R\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}R.$$
Так как $$BC=6R$$, то
$$AB=OA+BC=\frac{\sqrt3}{2}R+R=\frac{\sqrt3+2}{2}R.$$
По теореме Пифагора
$$AC^2=AB^2+BC^2 =\left(\frac{\sqrt3+2}{2}R\right)^2+(6R)^2.$$
Тогда
$$AC^2=\frac{(\sqrt3+2)^2}{4}R^2+36R^2 =\frac{151+4\sqrt3}{4}R^2,$$
откуда
$$AC=\frac{\sqrt{151+4\sqrt3}}{2}R.$$
Сравним это значение с длиной окружности $$2\pi R$$:
$$\frac{\sqrt{151+4\sqrt3}}{2}\approx 6{,}283, \qquad 2\pi\approx 6{,}283.$$
Разность очень мала и составляет примерно $$0{,}001R$$, то есть длина отрезка $$AC$$ совпадает с длиной окружности с точностью до $$0{,}001R$$.
Ответ: $$AC\approx 2\pi R$$ с точностью до $$0{,}001R$$.
