Упр.1288 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1) Отметим точку G симметрично D относительно AB;
2) Отметим точку H симметрично D относительно AC;
3) Отметим точку E на пересечении прямых HG и AB;
4) Отметим точку F на пересечении прямых HG и AC. По данным рисунка 372 докажите, что длина отрезка АС равна длине окружности с центром О радиуса R с точностью до 0,001R.

Пусть $$O$$ — центр окружности, $$R$$ — её радиус. Тогда $$BC=6R$$ и $$\angle O=60^\circ$$.

Найдём длину хорды $$AC$$. Из прямоугольного треугольника с углом $$30^\circ$$ получаем:

$$OA=R\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}R,$$

следовательно,

$$AB=OA+OB=\frac{\sqrt{3}}{2}R+R=\frac{\sqrt{3}+2}{2}R.$$

По теореме Пифагора:

$$AC^2=AB^2+BC^2,$$

откуда

$$AC^2=\left(\frac{\sqrt{3}+2}{2}R\right)^2+(6R)^2.$$

Тогда

$$AC=\frac{\sqrt{151+4\sqrt{3}}}{2}R.$$

Сравним это значение с длиной окружности $$2\pi R$$:

$$\frac{\sqrt{151+4\sqrt{3}}}{2}\approx 6{,}283,$$

$$2\pi \approx 6{,}283.$$

Относительная погрешность составляет примерно

$$\delta=\frac{48-47{,}799}{48}\approx 0{,}001\approx 0{,}1\%.$$

Значит, длина отрезка $$AC$$ равна длине окружности с центром $$O$$ радиуса $$R$$ с точностью до $$0{,}001R$$.

Ответ: $$AC=2\pi R$$ с точностью до $$0{,}001R$$.